Un disco gira con una velocidad angular constante de \( 8\pi \, \text{rad/s} \).
b) ¿Cuántas vueltas completas da en ese tiempo?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
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Imagina un disco girando en un tocadiscos mientras suena tu canción favorita. ¿Alguna vez te has preguntado cuántas vueltas completa mientras suena esa canción? Este ejercicio nos permite calcular el ángulo recorrido y las vueltas completas del disco, usando las bases del Movimiento Circular Uniforme (MCU).
Este tipo de problema es un clásico de los exámenes y una gran oportunidad para entender la cinemática angular. Resolverlo correctamente te dará mucha seguridad en otros ejercicios similares.
📝 Solución paso a paso
Repasemos los datos importantes:
– Velocidad angular (\( \omega \)): \( 8\pi \, \text{rad/s} \).
– Tiempo (\( t \)): \( 25 \, \text{segundos} \).
– Fórmulas clave:
– Ángulo recorrido: \( \theta = \omega \times t \).
– Vueltas completas: \( N = \frac{\theta}{2\pi} \).
a) ¿Qué ángulo recorre el disco en 25 segundos?
Sabemos que el ángulo recorrido (\( \theta \)) se calcula con la fórmula:
\[
\theta = \omega \cdot t
\]
donde:
– \( \theta \) es el ángulo recorrido en radianes.
– \( \omega \) es la velocidad angular en rad/s.
– \( t \) es el tiempo en segundos.
Sustituyendo los valores:
\[
\theta = 8\pi \, \text{rad/s} \times 25 \, \text{s}
\]
Multiplicamos:
\[
\theta = 200\pi \, \text{radianes}
\]
Interpretación del Resultado:
El disco ha girado un total de \( 200\pi \) radianes en \( 25 \, \text{segundos} \). Recuerda que una vuelta completa equivale a \( 2\pi \) radianes. Esto significa que nuestro resultado indica muchas vueltas completas.
b) ¿Cuántas vueltas completas da en ese tiempo?
Para calcular el número de vueltas completas (\( N \)), usamos la fórmula:
\[
N = \frac{\theta}{2\pi}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
N = \frac{200\pi}{2\pi}
\]
Simplificamos:
\[
N = 100 \, \text{vueltas}
\]
Resultado Final
– Ángulo recorrido: \( 200\pi \, \text{radianes} \).
– Vueltas completas: \( 100 \, \text{vueltas} \).
🤔 Qué pasaría si...
Aquí es donde ponemos a prueba tu curiosidad y llevamos el ejercicio un paso más allá. Exploraremos qué sucede si cambiamos algunos datos: más tiempo, más velocidad… ¡todo puede cambiar!
Esto te ayudará a entender mejor cómo funcionan las fórmulas y a anticipar resultados sin miedo. ¿Preparado para pensar como un auténtico físico?
1. ¿Qué pasaría si el tiempo fuera la mitad (\( t = 12.5 \, \text{s} \))?.
Calcula el ángulo que recorre y las vueltas completas.
Ver la solución
– En este caso:
\[
\theta = 8\pi \times 12.5 = 100\pi \, \text{radianes}
\]
– Número de vueltas:
\[
N = \frac{100\pi}{2\pi} = 50 \, \text{vueltas}
\]
Este era fácil. No te quejarás.
2. ¿Y si la velocidad angular se duplicara a \( 16\pi \, \text{rad/s} \)
Calcula el ángulo que recorre y las vueltas completas en 25 segundos
Ver la solución
– En \( 25 \, \text{segundos} \):
\[
\theta = 16\pi \times 25 = 400\pi \, \text{radianes}
\]
– Vueltas completas:
\[
N = \frac{400\pi}{2\pi} = 200 \, \text{vueltas}
\]
😵 Errores frecuentes al resolver este tipo de problemas:
En esta sección te muestro los errores más habituales que suelen cometer los estudiantes para que los reconozcas al instante y los esquives sin problema.
1. Confundir radianes con vueltas completas:
– Muchos olvidan que \( 1 \text{ vuelta} = 2\pi \, \text{radianes} \).
– Evítalo así: Recuerda siempre esta equivalencia clave y aplica la fórmula correctamente.
2. Multiplicación incorrecta:
– Es fácil cometer errores al multiplicar la velocidad angular por el tiempo.
– Consejo: Usa una calculadora confiable y verifica tus resultados.
3. Interpretación errónea del resultado:
– Algunos creen que un número grande como \( 200\pi \) es un error.
– Evítalo así: Recuerda que el ángulo recorrido suele ser grande en radianes, especialmente en movimientos rápidos y largos.
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