Teoría y Problemas Resueltos de Tiro Horizontal

Fórmulas para cada componente:

1. Componente horizontal (\(x(t)\)):
\[
x(t) = v_x \cdot t.
\]
– \(v_x\): Velocidad constante en el eje \(x\).
– \(t\): Tiempo transcurrido desde el lanzamiento.

2. Componente vertical (\(y(t)\)):
\[
y(t) = y_0 + \frac{1}{2} g \cdot t^2.
\]
– \(y_0\): Altura inicial desde la que se lanza el proyectil.
– \(g\): Aceleración de la gravedad.

Vector de posición completo:
Al combinar ambas componentes, obtenemos:
\[
\vec{r}(t) = (v_x \cdot t) \, \hat{i} + \left(y_0 + \frac{1}{2} g \cdot t^2\right) \, \hat{j}.
\]

Esto nos da la posición exacta del proyectil en cualquier instante \(t\).

Velocidad: Vector de velocidad (\(\vec{v}(t)\))

La velocidad del proyectil en cualquier momento se describe como:
\[
\vec{v}(t) = v_x \, \hat{i} + v_y \, \hat{j}.
\]

Fórmulas para cada componente:
1. Componente horizontal (\(v_x\)):
\[
v_x = \text{constante}.
\]

2. Componente vertical (\(v_y\)):
\[
v_y(t) = +g \cdot t.
\]
– Esta componente aumenta en magnitud con el tiempo debido a la gravedad.

Vector de velocidad completo:
\[
\vec{v}(t) = v_x \, \hat{i} + (g \cdot t) \, \hat{j}.
\]

Nota: Importancia de los Signos en Física

En Aulaciencia, las fórmulas siempre se presentan en su forma positiva. La interpretación de los signos se realiza al final, antes del cálculo, de acuerdo con el contexto físico del problema.

Por ejemplo, si obtenemos una velocidad negativa en el eje \(y\), esto indica que el movimiento está dirigido hacia abajo, y debemos recordar que la aceleración gravitatoria (\(g\)) es siempre negativa porque apunta en esa misma dirección.

Este enfoque no busca complicarte, sino ayudarte a comprender cómo funciona realmente el movimiento y la física que lo describe. No se trata de memorizar fórmulas, sino de entender los procedimientos y las relaciones que gobiernan el mundo físico. 

Ejemplo Resuelto: Aplicando la Cinemática Vectorial al Tiro Horizontal

Un proyectil es lanzado horizontalmente desde una altura de \(20 \, \text{m}\), con una velocidad inicial de \(10 \, \text{m/s}\). Vamos a calcular:

1. La posición y la velocidad del proyectil en un instante intermedio, por ejemplo, \(t = 1 \, \text{s}\).
2. La posición final y la velocidad al impactar con el suelo.
3. El ángulo de impacto (\(\alpha\)) respecto a la horizontal.

1. Posición y velocidad en \(t = 1 \, \text{s}\)

Para calcular la posición del proyectil a los \(1 \, \text{s}\), utilizamos la fórmula vectorial de posición:
\[
\vec{r}(t) = x(t) \, \hat{i} + y(t) \, \hat{j}.
\]
Calculamos cada componente por separado:

– La componente horizontal, \(x(t)\), sigue un movimiento rectilíneo uniforme (\(MRU\)). Usamos:
\[
x(1) = v_x \cdot t = 10 \cdot 1 = 10 \, \text{m}.
\]

– La componente vertical, \(y(t)\), sigue un movimiento uniformemente acelerado (\(MRUA\)). Aplicamos la fórmula:
\[
y(1) = y_0 + \frac{1}{2} g \cdot t^2 = 20 – \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 1^2 = 20 – 4.9 = 15.1 \, \text{m}.
\]

Por lo tanto, la posición del proyectil en ese instante es:
\[
\vec{r}(1) = 10 \, \hat{i} + 15.1 \, \hat{j} \, \text{m}.
\]

Ahora calculamos la velocidad en el mismo instante:
\[
\vec{v}(t) = v_x \, \hat{i} + v_y \, \hat{j}.
\]

– La componente horizontal, \(v_x\), es constante porque no hay aceleración en el eje \(x\):
\[
v_x = 10 \, \text{m/s}.
\]

– La componente vertical, \(v_y\), aumenta (en valor absoluto) debido a la gravedad:
\[
v_y(1) = g \cdot t = -9.8 \cdot 1 = -9.8 \, \text{m/s}.
\]

Entonces, la velocidad a \(t = 1 \, \text{s}\) es:
\[
\vec{v}(1) = 10 \, \hat{i} – 9.8 \, \hat{j} \, \text{m/s}.
\]

2. Posición final y velocidad al impacto

Primero, calculamos el tiempo total de vuelo, que depende únicamente de la altura inicial (\(y_0\)) y la gravedad:
\[
t_{\text{impacto}} = \sqrt{\frac{2y_0}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{9.8}} = \sqrt{4.08} \approx 2.02 \, \text{s}.
\]

Con este tiempo, determinamos la posición final. En el impacto, el proyectil ha alcanzado el suelo (\(y = 0\)):
– La componente horizontal de la posición:
\[
x_{\text{final}} = v_x \cdot t_{\text{impacto}} = 10 \cdot 2.02 = 20.2 \, \text{m}.
\]
– La componente vertical es cero, ya que el proyectil llega al suelo:
\[
y_{\text{final}} = 0 \, \text{m}.
\]

La posición final es, entonces:
\[
\vec{r}_{\text{final}} = 20.2 \, \hat{i} + 0 \, \hat{j} \, \text{m}.
\]

Por último, calculamos la velocidad al impacto. Recordemos que \(v_x\) no cambia y \(v_y\) depende del tiempo total de vuelo:
– La componente horizontal:
\[
v_x = 10 \, \text{m/s}.
\]
– La componente vertical:
\[
v_y = g \cdot t_{\text{impacto}} = -9.8 \cdot 2.02 \approx -19.8 \, \text{m/s}.
\]

Así, la velocidad final es:
\[
\vec{v}_{\text{final}} = 10 \, \hat{i} – 19.8 \, \hat{j} \, \text{m/s}.
\]

3. Ángulo de impacto (\(\alpha\))

El ángulo \(\alpha\) se mide desde la horizontal (\(v_x\)) hasta el vector de velocidad total (\(\vec{v}_{\text{final}}\)). Usamos la relación trigonométrica:
\[
\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x}.
\]

Sustituimos los valores:
\[
\tan \alpha = \frac{-19.8}{10} = -1.98.
\]

Aplicamos la función arctangente:
\[
\alpha = \arctan(-1.98).
\]

\[
\alpha \approx -63.4^\circ.
\]

Interpretación del ángulo negativo

El ángulo \(\alpha = -63.4^\circ\) indica que la velocidad del proyectil al impactar está 63.4° por debajo de la horizontal positiva (eje \(x\)). Esto es consistente con el hecho de que la componente vertical (\(v_y\)) es negativa, lo que representa el movimiento hacia abajo.