Problema de Alcance y Persecución en la Formula1 ✅

El rugido de los motores inunda el circuito mientras Fernando Alonso, con su mirada fija en el monoplaza rojo de Max Verstappen, calcula mentalmente cada segundo.

Ambos coches avanzan a velocidad constante, Alonso a 280 km/h y Verstappen a 250 km/h, bajo un claro Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). Con 20 segundos de ventaja para Max, el público aguanta la respiración:

¿Cuánto tiempo le llevará a Fernando cerrar esa brecha y poner el morro de su coche delante?

Un problema digno de la velocidad de la Fórmula 1. ¿Te atreves a resolverlo?

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)

Avanzado

Deja tu comentario
Categorias: BACHILLERATO, Cinemática, FÍSICA, MRU

Deja tu comentario
Categorias: BACHILLERATO, Cinemática, FÍSICA, MRU

En este ejercicio, abordaremos un problema clásico de alcance y persecución en el contexto del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). El MRU se caracteriza por el desplazamiento de un objeto en línea recta a una velocidad constante, sin experimentar aceleración.

Aunque no hay cambios en la velocidad, este tipo de movimiento nos permite plantear situaciones emocionantes, como la que resolveremos a continuación. Donde hay dos móviles ambos circulando a velocidad constante, y uno alcanza al otro.

Solución paso a paso

Ecuaciones de Posición

Como ya hemos indicado, ambos coches están en Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), lo que significa que sus velocidades son constantes. Podemos resolver este problema estableciendo las ecuaciones de posición para cada coche y encontrando el instante en el que Alonso alcanza a Verstappen, es decir, cuando sus posiciones son iguales.

Este es el método mas sencillo. Existen otros métodos, que si quieres podemos discutirlos en los comentarios.

Paso 1: Datos del problema

– Velocidad de Fernando Alonso (\(v_A\)) = 280 km/h.
– Velocidad de Max Verstappen (\(v_V\)) = 250 km/h.
– Retraso inicial de Alonso = 20 segundos.

Paso 2: Convertir las velocidades a metros por segundo

Para trabajar con unidades del S.I, convertimos las velocidades de kilómetros por hora a metros por segundo:

\[
v_A = \frac{280 \, \text{km}}{1 \, \text{h}} = \frac{280 \times 1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = 77.78 \, \text{m/s}
\]

\[
v_V = \frac{250 \, \text{km}}{1 \, \text{h}} = \frac{250 \times 1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = 69.44 \, \text{m/s}
\]

Paso 3: Ecuaciones de posición y sistema de referencia.

Lo mas importante en los ejercicios de alcance y persecución es establecer un sistema de referencia. Un eje de coordenadas con un origen desde el cual medir distancias y establecer un tiempo inicial \(t = 0\). En este caso, podemos elegir el sistema de referencia sobre el coche de Max Verstappen. Asi que su tiempo inicial es \(t = 0\).

Explica brevemente cómo deberían ser las ecuacionesx

¿Cómo serían las ecuaciones de posición si situamos el origen sobre el coche de Fernando Alonso?

Vamos con el ejercicio. Sabemos que la ecuación de posición en MRU es:

\[
x = v \cdot t
\]

– Para Max Verstappen, que empieza en \(t = 0\), su ecuación de posición será:

\[
x_V = v_V \cdot t = 69.44 \, \text{m/s} \cdot t
\]

– Para Fernando Alonso, que empieza 20 segundos más tarde, la ecuación de posición debe tener en cuenta este retraso. Cuando empieza, el tiempo ya ha avanzado 20 segundos para Max, por lo que su ecuación es:

\[
x_A = v_A \cdot (t – 20) = 77.78 \, \text{m/s} \cdot (t – 20)
\]

Igualar las ecuaciones de posición de ambos coches

Para encontrar el momento en que Alonso alcanza a Verstappen, igualamos las ecuaciones de posición, ya que en ese instante ambos estarán en la misma posición. Es decir, se debe cumplir que:

\[
x_A = x_V
\]

\[
77.78 \, (t – 20) = 69.44 \, t
\]

Paso 4: Resolver la ecuación

Despejamos \(t\) para encontrar el tiempo que tarda Alonso en alcanzar a Verstappen.

\[
77.78 \, t – 1555.6 = 69.44 \, t
\]\[
77.78 \, t – 69.44 \, t = 1555.6
\]

\[
8.34 \, t = 1555.6
\]

Despejamos \(t\):

\[
t = \frac{1555.6}{8.34} \approx 186.5 \, \text{segundos}
\]

Respuesta:

Fernando Alonso tardará aproximadamente 186.5 segundos o si lo prefieres, 3 minutos y 7 segundos en alcanzar a Max Verstappen.

Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?

¡Te desafiamos a llevar este ejercicio al siguiente nivel! Aquí encontrarás variaciones que a veces, añaden un toque extra de complejidad, pensadas para que explores nuevos conceptos y fortalezcas tus habilidades en la resolución de problemas de física.

¡Es tu oportunidad perfecta para aprender más y superar tus propios límites!

¿Qué pasaría si Fernando Alonso solo estuviera 10 segundos por detrás de Max Verstappen? ¿Cuánto tiempo tardaría en alcanzarlo en ese caso?

Vamos a resolver la nueva versión del problema, en la que Fernando Alonso está 10 segundos por detrás de Max Verstappen, utilizando la misma estrategia que antes: igualando las ecuaciones de posición.

Datos actualizados del problema

– Velocidad de Fernando Alonso (\(v_A\)): 280 km/h = 77.78 m/s.
– Velocidad de Max Verstappen (\(v_V\)): 250 km/h = 69.44 m/s.
– Retraso inicial de Alonso: 10 segundos.

Paso 1: Ecuaciones de posición

– Para Max Verstappen, la ecuación de posición es:

\[
x_V = 69.44 \, \text{m/s} \cdot t
\]

– Para Fernando Alonso, que empieza 10 segundos más tarde, su ecuación es:

\[
x_A = 77.78 \, \text{m/s} \cdot (t – 10)
\]

Paso 2: Igualar las ecuaciones de posición

Cuando Alonso alcanza a Verstappen, ambas posiciones deben ser iguales:

\[
77.78 \, (t – 10) = 69.44 \, t
\]

Paso 3: Resolver la ecuación

Primero expandimos el lado izquierdo de la ecuación:

\[
77.78 \, t – 777.8 = 69.44 \, t
\]

\[
77.78 \, t – 69.44 \, t = 777.8
\]

Simplificamos:

\[
8.34 \, t = 777.8
\]

Despejamos \(t\):

\[
t = \frac{777.8}{8.34} \approx 93.26 \, \text{segundos}
\]

Respuesta:

Fernando Alonso tardará aproximadamente 93,26 segundos o 1 minuto y 33 segundos en alcanzar a Max Verstappen si está 10 segundos por detrás.

Imaginemos que Fernando Alonso circula a una velocidad de 280 km/h y Max Verstappen a 250 km/h. Quedan dos vueltas para finalizar la carrera, y Alonso está a 500 metros detrás de Verstappen. Si cada vuelta tiene una longitud de 2500 metros, ¿cuánto tiempo tardará Alonso en alcanzar a Verstappen? ¿Conseguirá Fernando ganar la carrera?

Planteamiento del problema

Sistema de referencia:
– Vamos a considerar como origen del sistema de referencia la posición actual de Max Verstappen. Así, la posición de Alonso será negativa, ya que está 500 metros por detrás de él.
– La línea de meta será irrelevante, ya que lo que queremos es saber si Alonso lo alcanzará antes de que termine la carrera.

Datos del problema:

– Velocidad de Alonso, \(v_A\): 280 km/h = 77.78 m/s
– Velocidad de Verstappen, \(v_V\): 250 km/h = 69.44 m/s
– Distancia inicial entre ambos coches: Alonso está a 500 metros detrás de Verstappen.
– Longitud total de la pista: Cada vuelta tiene 2500 metros y quedan 2 vueltas, por lo que quedan 5000 metros hasta el final.

Ecuaciones del MRU

La posición de un móvil en MRU se describe con la ecuación:

\[
x(t) = x_0 + v \cdot t
\]

Donde:
– \(x(t)\) es la posición del móvil en el tiempo \(t\),
– \(x_0\) es la posición inicial del móvil,
– \(v\) es la velocidad del móvil,
– \(t\) es el tiempo transcurrido.

Posiciones de Alonso y Verstappen:

1. Verstappen: Como está en el origen (0 metros), su posición en cualquier instante \(t\) será:

\[
x_V(t) = 0 + v_V \cdot t = 69.44 \cdot t
\]

2. Alonso: Alonso parte de una posición inicial \(x_0 = -500\) metros (porque está 500 metros detrás de Verstappen). Su posición será:

\[
x_A(t) = -500 + 77.78 \cdot t
\]

Igualando las posiciones

Para determinar cuándo Alonso alcanza a Verstappen, igualamos sus posiciones:

\[
x_V(t) = x_A(t)
\]

Sustituyendo las expresiones de las posiciones:

\[
69.44 \cdot t = -500 + 77.78 \cdot t
\]

Pasamos los términos con \(t\) al mismo lado:

\[
69.44 \cdot t – 77.78 \cdot t = -500
\]

\[
-8.34 \cdot t = -500
\]

Ahora despejamos el tiempo \(t\):

\[
t = \frac{-500}{-8.34} = 59.95 \text{ segundos}
\]

Por lo tanto, Alonso tardará aproximadamente 60 segundos en alcanzar a Verstappen.

¿Ganará la carrera Alonso?

Para saber si Alonso conseguirá ganar la carrera, necesitamos calcular cuánta distancia recorrerá cada coche en esos 60 segundos.

1. Distancia recorrida por Alonso en 60 segundos:
\[
d_A = 77.78 \cdot 60 = 4666.8 \text{ metros}
\]

2. Distancia recorrida por Verstappen en 60 segundos:
\[
d_V = 69.44 \cdot 60 = 4166.4 \text{ metros}
\]

Alonso logra recorrer 4666.8 metros en esos 60 segundos, por lo que todavía le quedarán \(5000 – 4666.8 = 333.2 \text{ metros}\) para finalizar la carrera.

En cambio, Verstappen estará a \(5000 – 4166.4 = 833.6 \text{ metros}\) de la meta. Como a Alonso le queda menos distancia por recorrer, podemos concluir que Alonso ganará la carrera si mantiene su velocidad.

¡Sigamos aprendiendo Juntos!

Resolver ejercicios es clave para dominar la física, pero si sientes que aún hay algo que no quedó claro, ¡no te preocupes! En AulaCiencia, tenemos recursos diseñados para ayudarte a conquistar la cinemática:

📖 Teoría Completa de MRU:
¿Te surgió alguna duda? Revisa nuestra sección de teoría de MRU con explicaciones paso a paso, preguntas frecuentes y los errores más comunes que puedes evitar fácilmente.

📚 Problemas de MRU en PDF, Organizados por Nivel:
¿Quieres más práctica? Descarga los problemas y exámenes en PDF, clasificados por nivel educativo, y lleva el aprendizaje a donde quieras, incluso sin conexión.

🌍 Explora Más Tipos de Movimientos de la Cinemática:
¿Te quedaste con ganas de más? Descubre el movimiento uniformemente acelerado, el movimiento parabólico y el circular. Cada uno tiene sus particularidades, pero con nuestra guía paso a paso, ¡lo dominarás sin problemas!

🤖 Pregunta a TutorAI:
Si alguna ecuación o concepto se resiste, nuestro asistente TutorAI está aquí para responder cualquier duda de cinemática, física o matemáticas. ¡Dale clic y compruébalo!