Estamos en la final olímpica de los 1500 metros, y el estadio está en silencio, conteniendo la respiración en la última vuelta. Dos corredores, Leo y Dani, se disputan la victoria en un emocionante sprint final.
1. ¿Logrará Dani alcanzar a Leo antes de cruzar la línea de meta?
2. En caso de que los alcance, ¿a qué distancia de la meta sucederá el emocionante momento del encuentro?
3. Y, para agregar un poco de emoción extra, ¿con qué velocidad cruzará la línea de meta Dani?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️ Intermedio (4 /10)
Este problema trata de un emocionante encuentro en una carrera de velocidad con un análisis de alcance en cinemática. Utilizaremos el concepto de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) para Leo y Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) para Dani. Nos guiaremos con las ecuaciones de la cinemática para determinar si Dani logra alcanzar a Leo, y en caso de que lo haga, en qué punto ocurrirá y a qué velocidad terminará Dani.
📝 Solución paso a paso
1. Definiendo los Datos y las Incógnitas:
– Distancia entre Leo y la meta = 100 metros.
– Diferencia inicial entre Dani y Leo = 5 metros.
– Velocidad de Leo (\( v_{\text{Leo}} \)) = 9 m/s (MRU).
– Velocidad inicial de Dani (\( v_{\text{Dani}} \)) = 8 m/s (MRUA).
– Aceleración de Dani (\( a_{\text{Dani}} \)) = 2 m/s².
– Distancia que recorre Dani hasta alcanzar a Leo = \( x_{\text{encuentro}} \) (incógnita).
– Velocidad final de Dani al llegar a la meta (incógnita).
2. Planteando el Sistema de Ecuaciones:
Sabemos que Leo se mueve con MRU, por lo que su posición en cualquier instante \( t \) estará dada por:
\[
x_{\text{Leo}} = v_{\text{Leo}} \cdot t
\]
Dani, por otro lado, se mueve con MRUA desde una velocidad inicial \( v_{\text{Dani}} \), así que su posición en función del tiempo será:
\[
x_{\text{Dani}} = v_{\text{Dani}} \cdot t + \frac{1}{2} a_{\text{Dani}} \cdot t^2
\]
Para que Dani alcance a Leo, sus posiciones deben ser iguales. Además, Dani tiene que recorrer 5 metros adicionales para empatar. Así, tenemos que:
\[
x_{\text{Leo}} = x_{\text{Dani}} + 5
\]
Sustituyendo:
\[
v_{\text{Leo}} \cdot t = v_{\text{Dani}} \cdot t + \frac{1}{2} a_{\text{Dani}} \cdot t^2 + 5
\]
3. Resolviendo la Ecuación para el Tiempo de Encuentro:
Reemplazando con los valores numéricos:
\[
9 \cdot t = 8 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 + 5
\]
Simplificamos:
\[
9t – 8t = t^2 + 5
\]
\[
t^2 – t – 5 = 0
\]
Esta es una ecuación cuadrática de la forma \( t^2 – t – 5 = 0 \). Resolvemos usando la fórmula cuadrática:
\[
t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2}
\]
\[
t = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}
\]
Calculamos \( t \):
\[
t \approx \frac{1 + 4.58}{2} \approx 2.79 \, \text{segundos}
\]
4. Determinando la Distancia Recorrida por Dani hasta el Encuentro
Ahora usamos el tiempo encontrado para calcular la posición de Dani:
\[
x_{\text{Dani}} = v_{\text{Dani}} \cdot t + \frac{1}{2} a_{\text{Dani}} \cdot t^2
\]
\[
x_{\text{Dani}} = 8 \cdot 2.79 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2.79)^2
\]
\[
x_{\text{Dani}} \approx 22.32 + 7.78 = 30.1 \, \text{metros}
\]
Dado que Dani comenzó a 100 metros de la meta, el encuentro sucede a:
\[
100 – 30.1 = 69.9 \, \text{metros de la meta}
\]
5. Velocidad Final de Dani al Cruzar la Meta
La velocidad final de Dani al cruzar la meta es:
\[
v_{\text{final}} = v_{\text{Dani}} + a_{\text{Dani}} \cdot t
\]
\[
v_{\text{final}} = 8 + 2 \cdot 2.79
\]
\[
v_{\text{final}} \approx 13.58 \, \text{m/s}
\]
Conceptos Clave y Fórmulas Utilizadas:
– Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU): \( x = v \cdot t \).
– Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA): \( x = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2 \) y \( v = v_0 + a \cdot t \).
– Ecuación cuadrática: Utilizada para resolver el tiempo de encuentro.
🚀 Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?
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1.Si Leo también decide acelerar en el último momento, ¿lograría aún Dani alcanzarlo?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️ Intermedio (4 /10)
Supongamos que, en una reacción sorpresa, Leo también comienza a acelerar justo cuando nota que Dani lo está alcanzando. Leo pasa de su velocidad constante de 9 m/s a una aceleración de 1.5 m/s² en los últimos 100 metros. ¿Dani lograría todavía alcanzarlo? En caso afirmativo, calcula a qué distancia de la meta sucede el encuentro.
Paso 1: Planteamos las Ecuaciones para el Movimiento de Ambos Corredores
1. Para Dani:
– Velocidad inicial (\( v_{\text{Dani}} \)) = 8 m/s
– Aceleración (\( a_{\text{Dani}} \)) = 2 m/s²
– Posición en función del tiempo:
\[
x_{\text{Dani}} = 8 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = 8t + t^2
\]
2. Para Leo, ahora en MRUA:
– Velocidad inicial (\( v_{\text{Leo}} \)) = 9 m/s
– Aceleración (\( a_{\text{Leo}} \)) = 1.5 m/s²
– Posición en función del tiempo:
\[
x_{\text{Leo}} = 9 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot t^2 = 9t + 0.75t^2
\]
Paso 2: Igualamos las Posiciones para Encontrar el Tiempo de Encuentro
Para que Dani alcance a Leo, sus posiciones deben ser iguales:
\[
8t + t^2 = 9t + 0.75t^2 + 5
\]
Reordenamos y simplificamos la ecuación:
\[
t^2 – 0.25t – 5 = 0
\]
Resolviendo esta ecuación cuadrática:
\[
t = \frac{-(-0.25) \pm \sqrt{(-0.25)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
t = \frac{0.25 \pm \sqrt{0.0625 + 20}}{2}
\]
\[
t = \frac{0.25 \pm \sqrt{20.0625}}{2}
\]
Calculamos el valor de \( t \):
\[
t \approx \frac{0.25 + 4.48}{2} \approx 2.37 \, \text{segundos}
\]
Paso 3: Calculamos la Posición en ese Momento
Usamos \( t = 2.37 \) segundos para determinar la posición de Dani:
\[
x_{\text{Dani}} = 8 \cdot 2.37 + (2.37)^2
\]
\[
x_{\text{Dani}} \approx 18.96 + 5.62 = 24.58 \, \text{metros}
\]
Dado que ambos partieron a 100 metros de la meta, el encuentro sucederá a:
\[
100 – 24.58 = 75.42 \, \text{metros de la meta}
\]
¿Dani logra alcanzar a Leo? Sí, Dani aún logra alcanzarlo.
¿A qué distancia de la meta ocurre el encuentro? El encuentro sucede a unos 75.42 metros de la línea de meta, un poco antes de lo que ocurrió en el problema original.
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