Estás en la órbita terrestre, a bordo de la Estación Espacial Internacional (ISS), y has salido al espacio exterior para realizar una misión de reparación en uno de los paneles solares. Mientras ajustas el último tornillo, algo sucede: ¡tu herramienta falla y el tornillo sale disparado lentamente, alejándose de ti!
Datos del problema:
Velocidad del tornillo ( 𝑣 tornillo v tornillo ) = 0.5 m/s (MRU).
Aceleración del astronauta ( 𝑎 astronauta a astronauta ) = 0.2 m/s² (MRUA).
Distancia inicial entre el tornillo y el astronauta: 0 metros (el tornillo empieza a moverse justo desde donde estás tú).
Objetivo:
a) ¿Lograrás alcanzar el tornillo?
b) En caso afirmativo, ¿en qué momento exacto y a qué distancia de tu punto de partida ocurrirá el encuentro
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Introducción a la Resolución del ejercicio de alcance y persecución
Tenemos que fijarnos que en este problema de alcance y persecución, tenemos dos tipos de movimientos: el Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) del tornillo y el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) del astronauta. Utilizaremos las ecuaciones de posición en función del tiempo para determinar si y cuándo el astronauta alcanzará al tornillo. Esto implicará igualar las posiciones de ambos en un instante de tiempo común.
📝 Solución paso a paso
1. Definiendo los Datos y las Incógnitas:
– Velocidad del tornillo (\(v_{\text{tornillo}}\)) = 0.5 m/s.
– Aceleración del astronauta (\(a_{\text{astronauta}}\)) = 0.2 m/s².
– Velocidad inicial del astronauta = 0 m/s (parte desde el reposo).
– Distancia inicial entre el tornillo y el astronauta = 0 m.
– Tiempo y posición de encuentro (incógnitas a encontrar).
2. Planteando el Sistema de Ecuaciones
1. Para el tornillo, que se mueve con MRU:
\[
x_{\text{tornillo}} = v_{\text{tornillo}} \cdot t
\]
2. Para el astronauta, que se mueve con MRUA:
\[
x_{\text{astronauta}} = \frac{1}{2} a_{\text{astronauta}} \cdot t^2
\]
Para que el astronauta alcance al tornillo, sus posiciones deben ser iguales en el mismo instante \( t \). Entonces:
\[
x_{\text{tornillo}} = x_{\text{astronauta}}
\]
Sustituyendo las ecuaciones:
\[
v_{\text{tornillo}} \cdot t = \frac{1}{2} a_{\text{astronauta}} \cdot t^2
\]
Reemplazamos los valores numéricos:
\[
0.5 \cdot t = \frac{1}{2} \cdot 0.2 \cdot t^2
\]
Simplificamos la ecuación:
\[
0.5 \cdot t = 0.1 \cdot t^2
\]
Dividimos ambos lados entre \( t \) (asumiendo \( t \neq 0 \)):
\[
0.5 = 0.1 \cdot t
\]
Resolviendo para \( t \):
\[
t = \frac{0.5}{0.1} = 5 \, \text{segundos}
\]
3. Determinando la Distancia de Encuentro:
Ahora usamos el tiempo encontrado para calcular la posición del tornillo o del astronauta en ese instante.
Para el tornillo:
\[
x_{\text{tornillo}} = v_{\text{tornillo}} \cdot t = 0.5 \cdot 5 = 2.5 \, \text{metros}
\]
Para el astronauta:
\[
x_{\text{astronauta}} = \frac{1}{2} a_{\text{astronauta}} \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.2 \cdot (5)^2
\]
\[
x_{\text{astronauta}} = 0.1 \cdot 25 = 2.5 \, \text{metros}
\]
Ambos coinciden en el mismo punto, confirmando que el astronauta logra alcanzar al tornillo.
Respuestas Finales:
a) Sí, el astronauta alcanza el tornillo.
b) El encuentro sucede a los 5 segundos y a una distancia de 2.5 metros del punto de partida del astronauta.
Conceptos clave y fórmulas utilizadas en el problema
– Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU): \( x = v \cdot t \)
– Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA): \( x = \frac{1}{2} a \cdot t^2 \)
🚀 Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?
¡Te desafiamos a llevar este ejercicio al siguiente nivel! Aquí encontrarás variaciones que a veces, añaden un toque extra de complejidad, pensadas para que explores nuevos conceptos y fortalezcas tus habilidades en la resolución de problemas de física.
¡Es tu oportunidad perfecta para aprender más y superar tus propios límites!
1. Imagina esta situación. El tornillo se suelta y sale disparado hacia el espacio. Actúas rápido para intentar alcanzarlo, pero esta vez estás atado a la estación mediante un cable de seguridad de 3 metros
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Sabes que el tornillo ha comenzado a alejarse de ti a una velocidad constante de 1 m/s. Tú, con tus propulsores de emergencia, puedes acelerar a 0.2 m/s². ¿Lograrás alcanzarlo antes de que el cable se extienda por completo?
Paso 1: Definimos los Datos y las Ecuaciones
– Velocidad del tornillo (\(v_{\text{tornillo}}\)) = 1 m/s (MRU).
– Aceleración del astronauta (\(a_{\text{astronauta}}\)) = 0.2 m/s² (MRUA).
– Longitud del cable de seguridad = 3 metros (máxima distancia que puede recorrer el astronauta).
Queremos averiguar si el astronauta puede alcanzar el tornillo dentro de esos 3 metros.
Paso 2: Planteamos las Ecuaciones de Movimiento
1. Posición del tornillo (MRU):
\[
x_{\text{tornillo}} = v_{\text{tornillo}} \cdot t = 1 \cdot t = t
\]
2. Posición del astronauta (MRUA):
\[
x_{\text{astronauta}} = \frac{1}{2} a_{\text{astronauta}} \cdot t^2 = 0.1 \cdot t^2
\]
Para que el astronauta alcance al tornillo, sus posiciones deben ser iguales en un mismo instante \( t \):
\[
t = 0.1 \cdot t^2
\]
Reordenamos la ecuación para resolver el tiempo de encuentro:
\[
t^2 – 10t = 0
\]
\[
t(t – 10) = 0
\]
De aquí obtenemos dos soluciones posibles para \( t \): \( t = 0 \) (cuando ambos están en el mismo punto inicial) y \( t = 10 \) segundos.
Paso 3: Verificamos si el Astronauta Aún Está Dentro del Alcance del Cable al Momento del Encuentro
Si el encuentro sucediera en \( t = 10 \) segundos, calculemos la distancia que el astronauta ha recorrido en ese tiempo y veamos si está dentro del límite del cable:
1. Posición del astronauta al cabo de 10 segundos:
\[
x_{\text{astronauta}} = 0.1 \cdot (10)^2 = 0.1 \cdot 100 = 10 \, \text{metros}
\]
2. Posición del tornillo al cabo de 10 segundos:
\[
x_{\text{tornillo}} = 1 \cdot 10 = 10 \, \text{metros}
\]
Aunque las posiciones del astronauta y el tornillo coinciden en los 10 metros, esto está muy por fuera del alcance del cable de seguridad, que solo mide 3 metros. Por lo tanto, el astronauta no puede alcanzar el tornillo.
2. Pregunta Abierta para el Estudiante: ¿Qué sucederá ahora con el tornillo?
Dificultad: ⚛️⚛️ Principiante (2 /10)
Este tornillo que flota sin rumbo en la órbita terrestre se mueve a una velocidad relativa de 1 m/s respecto al astronauta. Pero aquí viene algo interesante: si lo vemos desde un punto de vista externo, como el de un observador estacionario en el espacio, tanto el astronauta como el tornillo están moviéndose a una velocidad increíblemente alta de 28,000 km/h, la velocidad orbital de la ISS.
Imaginemos que el tornillo continúa en la misma órbita que la ISS. Si completa una vuelta entera alrededor de la Tierra, podría incluso golpear la estación o cruzarse con otro satélite.
Pista para el Estudiante:
Para entender mejor esta situación, reflexiona sobre cómo un observador en diferentes marcos de referencia vería el movimiento del tornillo y el astronauta:
1. Desde el punto de vista del astronauta, el tornillo se aleja a apenas 1 m/s, algo que parece lento y alcanzable.
2. Desde el punto de vista de un observador estacionario en el espacio, tanto el astronauta como el tornillo se mueven a la increíble velocidad orbital de 28,000 km/h. A esta velocidad, cualquier colisión con la ISS o un satélite podría ser extremadamente peligrosa.
¿Qué crees que podría pasar si, al completar una vuelta, el tornillo vuelve a cruzarse con la ISS?
Te leo en los comentarios 🤗
Pensamiento Extra: La Amenaza de los Desechos Espaciales
Este tornillo perdido se convierte en un nuevo fragmento de basura espacial. Incluso si no golpea la ISS, podría representar una amenaza para otros satélites y naves espaciales en el futuro.
En la órbita baja de la Tierra, miles de fragmentos como este ya están en circulación, y cada uno representa un riesgo potencial para cualquier misión espacial. La acumulación de estos desechos ha generado el llamado Síndrome de Kessler, una situación hipotética en la que la cantidad de basura espacial crece hasta el punto de que las colisiones entre estos fragmentos crean aún más fragmentos, generando una reacción en cadena que provoca que la órbita terrestre sea cada vez más peligrosa.
Para reflexionar
¿Se te ocurre alguna forma innovadora de evitar que se genere más basura espacial? ¿O, visto desde otro ángulo, qué ideas creativas podrías proponer para eliminar la basura espacial que ya se encuentra en la órbita terrestre?
Piensa en soluciones tecnológicas, estrategias de recolección o métodos que hagan el espacio más seguro y sostenible para futuras misiones.
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