Imagínate en una remota isla en medio del océano, a bordo de una pequeña avioneta. El sol comienza a ponerse, y tienes que despegar antes de que caiga la noche.
¿Será posible que la avioneta despegue en esa corta distancia o acabará en el océano?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Para despegar, la avioneta debe acelerar de manera constante desde el reposo (0 km/h) hasta alcanzar una velocidad de 140 km/h en esos 300 metros. Este es un típico problema de Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA), en el que el objetivo es comprobar si la aceleración y la distancia de la pista son suficientes para que la avioneta alcance la velocidad de despegue.
Vamos a desglosar este problema en pasos claros para ver quién tiene la razón: ¿el piloto, confiado en que puede despegar, o tú, que sospechas que los cálculos podrían decir lo contrario?
¡Vamos a calcularlo paso a paso!
📝 Solución paso a paso
Identifiquemos los datos que tenemos
– Velocidad inicial (\(v_0\)) = 0 m/s (la avioneta comienza en reposo).
– Velocidad final (\(v\)) = 140 km/h (la velocidad mínima necesaria para despegar).
– Aceleración (\(a\)) = 2 m/s² (la aceleración constante de la avioneta).
– Distancia máxima disponible (\(d\)) = 300 m (la longitud de la pista).
Para resolver el problema, primero convertiremos la velocidad final a m/s, calcularemos el tiempo necesario para recorrer los 300 metros con esa aceleración, y después compararemos si esa distancia es suficiente.
Convertir la velocidad de km/h a m/s
Dado que la velocidad final está en km/h y queremos trabajar en m/s, usaremos la conversión adecuada:
\[
v = 140 \, \text{km/h} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} = 38.89 \, \text{m/s}
\]
Así, la velocidad final necesaria para que la avioneta despegue es 38.89 m/s.
Calcular el tiempo necesario para alcanzar la velocidad de despegue
Usamos la fórmula del MRUA para la velocidad, que nos dice que:
\[
v = v_0 + a \cdot t
\]
Despejamos \( t \) para encontrar cuánto tiempo tarda la avioneta en alcanzar los 38.89 m/s con una aceleración de 2 m/s²:
\[
t = \frac{v – v_0}{a} = \frac{38.89 \, \text{m/s} – 0}{2 \, \text{m/s}^2} = 19.445 \, \text{s}
\]
Por lo tanto, la avioneta tardaría aproximadamente 19.45 segundos en alcanzar la velocidad de despegue.
Despegará la avioneta? Calcular la distancia recorrida en ese tiempo
Ahora usaremos la fórmula de la distancia en MRUA para ver si los 300 metros son suficientes:
\[
d = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2
\]
Sustituyendo los valores:
\[
d = 0 \cdot 19.45 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (19.45)^2
\]
Simplificamos:
\[
d = 1 \cdot (19.45)^2 = 378.3 \, \text{m}
\]
Resultado y conclusión
La avioneta necesitaría 378.3 metros para alcanzar la velocidad de 140 km/h. Como la pista tiene solo 300 metros de longitud, el cálculo demuestra que el piloto no tiene razón. En efecto, la avioneta no logrará alcanzar la velocidad suficiente para despegar en esa distancia; necesitaría unos 78 metros adicionales para despegar sin problemas.
🚀 Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?
¡Te desafiamos a llevar este ejercicio al siguiente nivel! Aquí encontrarás variaciones que a veces, añaden un toque extra de complejidad, pensadas para que explores nuevos conceptos y fortalezcas tus habilidades en la resolución de problemas de física.
¡Es tu oportunidad perfecta para aprender más y superar tus propios límites!
1. El piloto, dándose cuenta de que la aceleración inicial no es suficiente, plantea una pregunta clave:
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
¿Qué aceleración necesitaría la avioneta para alcanzar la velocidad de despegue de 140 km/h en los 300 metros disponibles?
Ahora, el objetivo es lograr que la avioneta alcance la velocidad mínima necesaria para despegar (38.89 m/s) en la distancia limitada de 300 metros.
Paso 1: Información conocida
Repasemos los datos:
– Velocidad inicial (\(v_0\)) = 0 m/s (partimos desde el reposo).
– Velocidad final (\(v\)) = 38.89 m/s (velocidad de despegue en m/s).
– Distancia máxima disponible (\(d\)) = 300 m (longitud de la pista).
– Aceleración desconocida (\(a\)) = ? (la nueva aceleración que necesitamos encontrar).
Usaremos la fórmula de la distancia en MRUA, pero esta vez, despejaremos para encontrar la aceleración necesaria.
Paso 2: Fórmula para calcular la aceleración necesaria
La fórmula que relaciona velocidad, aceleración y distancia en MRUA es:
\[
v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot d
\]
Sabemos que \(v_0 = 0\), así que simplificamos la fórmula a:
\[
v^2 = 2 \cdot a \cdot d
\]
Ahora, despejamos \(a\):
\[
a = \frac{v^2}{2 \cdot d}
\]
Paso 3: Sustituir los valores y resolver
Sustituyendo los valores conocidos:
\[
a = \frac{(38.89)^2}{2 \cdot 300}
\]
Calculamos el numerador:
\[
(38.89)^2 = 1512.51
\]
Luego dividimos por el denominador:
\[
a = \frac{1512.51}{600} = 2.52 \, \text{m/s}^2
\]
Resultado
Para que la avioneta pueda despegar en los 300 metros disponibles, la aceleración debería ser de al menos 2.52 m/s².
—
Conclusión
Para escapar de la isla sin problemas y poder tomar vuelo, el piloto necesitaría una aceleración ligeramente mayor que la original de 2 m/s². Con una aceleración de 2.52 m/s², la avioneta podría alcanzar la velocidad necesaria de 140 km/h justo al final de la pista.
2. Imagina que el piloto está ya en la pista, concentrado y listo para el despegue cuando, de repente, nota algo extraño: una ráfaga de viento sopla de frente, directamente en la dirección opuesta. Este viento de 10 km/h no parece mucho, pero en aviación cada pequeño detalle cuenta. Con esta nueva resistencia, la avioneta necesitará alcanzar una velocidad aún mayor para poder despegar.
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️ Intermedio (4 /10)
La pregunta ahora es: ¿será suficiente la aceleración actual de 2 m/s², o el piloto deberá ajustar la potencia?. Calcula la nueva aceleración.
Para despejar esta duda, vamos a calcular primero la nueva velocidad que debe alcanzar y luego la aceleración que necesitaría para lograrlo en los 300 metros de pista disponibles.
Paso 1: Datos iniciales y análisis del problema
– Velocidad deseada sin viento (\(v\)) = 140 km/h
– Velocidad del viento en contra = 10 km/h
– Distancia de la pista (\(d\)) = 300 m
– Aceleración actual (\(a\)) = 2 m/s²
Paso 2: Convertir velocidades a m/s
Para poder operar en el sistema de unidades adecuado, pasemos todas las velocidades de km/h a m/s:
1. Velocidad deseada sin viento:
\[
v = 140 \, \text{km/h} = \frac{140 \times 1000}{3600} = 38.89 \, \text{m/s}
\]
2. Velocidad del viento en contra:
\[
v_{\text{viento}} = 10 \, \text{km/h} = \frac{10 \times 1000}{3600} = 2.78 \, \text{m/s}
\]
Paso 3: Calcular la nueva velocidad necesaria con viento en contra
Dado que el viento sopla en sentido contrario, la avioneta debe superar su velocidad inicial de despegue de 38.89 m/s en la misma proporción del viento. Entonces, sumamos:
\[
v_{\text{nueva}} = v + v_{\text{viento}}
\]
Sustituyendo valores:
\[
v_{\text{nueva}} = 38.89 \, \text{m/s} + 2.78 \, \text{m/s} = 41.67 \, \text{m/s}
\]
Paso 4: Determinar la aceleración necesaria para alcanzar la nueva velocidad
Ahora que sabemos que la avioneta necesita alcanzar una velocidad de 41.67 m/s en los 300 metros de pista, utilizaremos la fórmula de MRUA que relaciona velocidad final, aceleración y distancia:
\[
v_{\text{nueva}}^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot d
\]
Dado que partimos desde el reposo (\(v_0 = 0\)), la fórmula se simplifica:
\[
a = \frac{v_{\text{nueva}}^2}{2 \cdot d}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
a = \frac{(41.67)^2}{2 \cdot 300}
\]
1. Primero, calculamos el numerador:
\[
(41.67)^2 = 1736.11
\]
2. Dividimos por el denominador:
\[
a = \frac{1736.11}{600} = 2.89 \, \text{m/s}^2
\]
—
Resultado
Para poder despegar en los 300 metros de pista con el viento en contra, la avioneta necesitaría una aceleración de 2.89 m/s². Esto es considerablemente mayor que la aceleración original de 2 m/s². Así que, en esta situación, el piloto no podría despegar sin aumentar la potencia de la avioneta.
3.El piloto se prepara para despegar en la pequeña isla, pero se fija que hay un elemento inesperado: una pendiente ligera en la pista que baja suavemente hacia el océano. ¡Esta inclinación podría ser justo la ayuda que necesita! Al estar a favor de la dirección de despegue, la pendiente añade una aceleración extra de 0.58 m/s²
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️ Intermedio (4 /10)
¿Podrá esta ayuda natural reducir el tiempo de despegue y la distancia necesaria?
Nuestro objetivo es descubrir cuánto tiempo tomará alcanzar la velocidad de despegue de 140 km/h y la distancia total que recorrerá la avioneta en esta pista inclinada.
Paso 1: Datos iniciales y análisis del problema
Datos conocidos:
– Velocidad de despegue (\(v\)) = 140 km/h
– Aceleración inicial de la avioneta (\(a_{\text{avioneta}}\)) = 2 m/s²
– Aceleración extra de la pendiente (\(a_{\text{pendiente}}\)) = 0.58 m/s²
Objetivos:
1. Calcular el tiempo necesario para alcanzar 140 km/h con la ayuda de la pendiente.
2. Calcular la distancia total recorrida hasta alcanzar esa velocidad.
Paso 2: Convertir la velocidad de despegue a m/s
Convertimos 140 km/h a m/s para poder trabajar en unidades coherentes:
\[
v = 140 \, \text{km/h} = \frac{140 \times 1000}{3600} = 38.89 \, \text{m/s}
\]
Paso 3: Calcular la aceleración total
Dado que la pendiente facilita el despegue, sumamos su aceleración a la aceleración propia de la avioneta:
\[
a_{\text{total}} = a_{\text{avioneta}} + a_{\text{pendiente}}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
a_{\text{total}} = 2 \, \text{m/s}^2 + 0.58 \, \text{m/s}^2 = 2.58 \, \text{m/s}^2
\]
Paso 4: Calcular el tiempo necesario para alcanzar la velocidad de despegue
Para calcular el tiempo necesario en un MRUA, usamos la fórmula:
\[
v = v_0 + a_{\text{total}} \cdot t
\]
Dado que la avioneta parte desde el reposo (\(v_0 = 0\)), la fórmula se simplifica:
\[
t = \frac{v}{a_{\text{total}}}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
t = \frac{38.89 \, \text{m/s}}{2.58 \, \text{m/s}^2} = 15.08 \, \text{s}
\]
Entonces, con la ayuda de la pendiente, la avioneta alcanzará la velocidad de despegue en aproximadamente 15.08 segundos.
Paso 5: Calcular la distancia total recorrida hasta alcanzar la velocidad de despegue
Usamos la fórmula de distancia para MRUA:
\[
d = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_{\text{total}} \cdot t^2
\]
Dado que \(v_0 = 0\):
\[
d = \frac{1}{2} \cdot a_{\text{total}} \cdot t^2
\]
Sustituyendo los valores:
\[
d = \frac{1}{2} \cdot 2.58 \, \text{m/s}^2 \cdot (15.08 \, \text{s})^2
\]
1. Calculamos el cuadrado del tiempo:
\[
(15.08)^2 = 227.41
\]
2. Multiplicamos:
\[
d = \frac{1}{2} \cdot 2.58 \cdot 227.41 = 293.95 \, \text{m}
\]
Resultado
Con la ayuda de la pendiente, la avioneta necesita recorrer 293.95 metros para alcanzar la velocidad de despegue.
Gracias a la inclinación de la pista, el piloto tiene el empujón extra que necesita para despegar en una distancia que, sin la pendiente, habría sido justo el límite o incluso insuficiente
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