Una carrera en la Ciudad: Explorando el MCU en las Ruedas de un Coche

Un coche de carreras, está haciendo una prueba de velocidad en una larga pista de la ciudad.

Las ruedas de este coche tienen un radio de 30 cm, y durante la prueba, logran girar a una velocidad de 900 revoluciones por minuto (rpm).

a) ¿A qué velocidad angular están girando las ruedas del coche de carreras?

b) Con esas revoluciones de las ruedas, ¿qué tan rápido se mueve en metros por segundo (m/s) y en kilómetros por hora (km/h)?

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)

Este es un ejercicio de Movimiento Circular Uniforme (MCU). Para resolverlo, utilizaremos conceptos como la velocidad angular y la velocidad tangencial (o lineal). Sabemos que las ruedas del coche giran a un ritmo constante, por lo que podemos calcular tanto la velocidad angular de las ruedas como la velocidad a la que el coche se desplaza.

📝 Solución paso a paso

1. Definimos los Datos del problema

– Radio de las ruedas (\( R \)) = 30 cm = 0.30 m.
– Revoluciones por minuto (\( \text{rpm} \)) = 900 rpm.

Conversión de Revoluciones por Minuto a Revoluciones por Segundo

Convertimos las revoluciones por minuto a revoluciones por segundo para trabajar en unidades estándar de tiempo:

\[
900 \, \text{rpm} \times \frac{1 \, \text{minuto}}{60 \, \text{segundos}} = 15 \, \text{revoluciones/segundo}
\]

Esto nos da una frecuencia \( f = 15 \, \text{revoluciones/segundo} \).

2. Cálculo de la Velocidad Angular de las Ruedas

La velocidad angular \( \omega \) se relaciona con el periodo \( T \), que es el tiempo que tarda en completarse una vuelta. La fórmula general para la velocidad angular en función del periodo es:

\[
\omega = \frac{2 \pi}{T}
\]

donde:
– \( T \) es el periodo (el tiempo que toma una revolución completa en segundos).

Como la frecuencia \( f \) es el inverso del periodo, tenemos que:

\[
f = \frac{1}{T} \quad \Rightarrow \quad T = \frac{1}{f}
\]

Sustituyendo \( T = \frac{1}{f} \) en la primera fórmula, obtenemos:

\[
\omega = 2 \pi \cdot f
\]

Ahora, sustituimos el valor de la frecuencia en esta fórmula:

\[
\omega = 2 \pi \cdot 15 = 30 \pi \, \text{rad/s}
\]

Calculamos el valor numérico:

\[
\omega \approx 30 \cdot 3.1416 = 94.25 \, \text{rad/s}
\]

Resultado: La velocidad angular de las ruedas es aproximadamente 94.25 rad/s.

3. Cálculo de la Velocidad del Coche

La velocidad del coche está determinada por la velocidad tangencial de las ruedas, que se obtiene a partir de la relación entre la velocidad angular y el radio de la rueda:

\[
v = \omega \cdot R
\]

Sustituyendo los valores que ya tenemos:

\[
v = 94.25 \cdot 0.30 = 28.275 \, \text{m/s}
\]

Conversión de la Velocidad a km/h

Para convertir esta velocidad a kilómetros por hora, aplicamos un factor de conversión:

\[
v = 28.275 \, \text{m/s} \times \frac{3600 \, \text{s}}{1000 \, \text{m}} = 101.79 \, \text{km/h}
\]

Resultado: La velocidad del coche es aproximadamente 28.28 m/s o 101.79 km/h.

🚀 Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?

¡Te desafiamos a llevar este ejercicio al siguiente nivel! Aquí encontrarás variaciones que a veces, añaden un toque extra de complejidad, pensadas para que explores nuevos conceptos y fortalezcas tus habilidades en la resolución de problemas de física.

¡Es tu oportunidad perfecta para aprender más y superar tus propios límites!

1. ¿Qué pasaría si el coche aumentara las revoluciones por minuto de las ruedas?

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)

Supongamos que el coche ahora circula a 1200 rpm. Vamos a ver cómo afecta esto a las velocidades angular y tangencial, así como a la aceleración centrípeta.

Paso 1: Cálculo de la Nueva Velocidad Angular

La velocidad angular \( \omega \) depende de la frecuencia de giro de las ruedas. Como estamos trabajando en rpm (revoluciones por minuto), primero convertimos esta frecuencia a revoluciones por segundo.

1. Empezamos convirtiendo las 1200 rpm a revoluciones por segundo:
\[
f = 1200 \, \text{rpm} \times \frac{1 \, \text{minuto}}{60 \, \text{segundos}} = 20 \, \text{revoluciones/segundo (Hz)}
\]

2. Ahora, calculamos la velocidad angular \( \omega \) usando la fórmula:
\[
\omega = 2 \pi \cdot f
\]
Sustituyendo el valor de \( f = 20 \, \text{Hz} \):
\[
\omega = 2 \pi \cdot 20 = 40 \pi \, \text{rad/s}
\]

Resolviendo numéricamente:
\[
\omega \approx 40 \cdot 3.1416 = 125.66 \, \text{rad/s}
\]

Así que, si el coche aumenta las revoluciones de las ruedas a 1200 rpm, su velocidad angular pasa a ser 125.66 rad/s.

Paso 2: Cálculo de la Nueva Velocidad Tangencial del Coche

La velocidad tangencial \( v \) del coche está relacionada con la velocidad angular \( \omega \) mediante el radio de las ruedas. Sabemos que:

\[
v = \omega \cdot R
\]

Usando el valor de \( \omega = 125.66 \, \text{rad/s} \) y \( R = 0.3 \, \text{m} \):

\[
v = 125.66 \cdot 0.3 = 37.698 \, \text{m/s}
\]

Convertimos esta velocidad a km/h:

\[
v = 37.698 \, \text{m/s} \times \frac{3600 \, \text{s}}{1000 \, \text{m}} = 135.71 \, \text{km/h}
\]

Entonces, con el aumento a 1200 rpm, la velocidad del coche sería de aproximadamente 37.7 m/s o 135.7 km/h.

Paso 3: Cálculo de la Nueva Aceleración Centrípeta

La aceleración centrípeta \( a_n \) es la aceleración que actúa hacia el centro de la circunferencia, manteniendo el objeto en su trayectoria circular. Esta aceleración depende de la velocidad tangencial y el radio de las ruedas, y se calcula como:

\[
a_n = \frac{v^2}{R}
\]

Sustituyendo los valores encontrados:

\[
a_n = \frac{(37.698)^2}{0.3} = \frac{1420.89}{0.3} \approx 4736.3 \, \text{m/s}^2
\]

Entonces, si las ruedas giran a 1200 rpm, la aceleración centrípeta se incrementa a 4736.3 m/s², lo que indica que el coche necesitaría una fuerza mayor para mantener esa velocidad en un giro, lo cual es un aspecto importante en las curvas.

Resumen

– La velocidad angular pasa de 94.25 rad/s a 125.66 rad/s.
– La velocidad tangencial (velocidad del coche) aumenta de 101.79 km/h a 135.71 km/h.
– La aceleración centrípeta incrementa significativamente, pasando de 3189.3 m/s² a 4736.3 m/s².

2. ¿Qué pasaría si el radio de las ruedas fuera diferente?

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principante (3 /10)

Ahora, volvamos al problema original. Consideremos que el coche utiliza ruedas más grandes, con un radio de 40 cm (0.4 m) en lugar de 30 cm. Vamos a analizar cómo cambia esto la velocidad tangencial y la distancia recorrida por cada vuelta de las ruedas.

Paso 1: Cálculo de la Velocidad Tangencial con el Nuevo Radio

La velocidad tangencial \( v \) depende de la velocidad angular \( \omega \) y el radio \( R \). Usamos el mismo valor de velocidad angular inicial que teníamos en el problema original (\( \omega = 94.25 \, \text{rad/s} \)).

La fórmula es:

\[
v = \omega \cdot R
\]

Sustituyendo \( \omega = 94.25 \, \text{rad/s} \) y \( R = 0.4 \, \text{m} \):

\[
v = 94.25 \cdot 0.4 = 37.7 \, \text{m/s}
\]

Convertimos esta velocidad a km/h:

\[
v = 37.7 \, \text{m/s} \times \frac{3600 \, \text{s}}{1000 \, \text{m}} = 135.72 \, \text{km/h}
\]

Resultado: Con un radio de rueda mayor, la velocidad del coche aumenta a 37.7 m/s o 135.7 km/h.

Paso 2: Cálculo de la Distancia Recorrida por Vuelta

La distancia recorrida por cada vuelta de las ruedas (la circunferencia) depende del radio y se calcula como:

\[
\text{Circunferencia} = 2 \pi \cdot R
\]

Sustituyendo \( R = 0.4 \, \text{m} \):

\[
\text{Circunferencia} = 2 \pi \cdot 0.4 = 0.8 \pi \approx 2.513 \, \text{m}
\]

Así, con un radio mayor, cada rueda recorre 2.513 metros por vuelta en lugar de los 1.885 metros que recorría inicialmente con un radio de 0.3 m.

Resumen

– Al aumentar el radio de las ruedas, la velocidad tangencial del coche aumenta a 135.7 km/h (debido al aumento en la distancia que recorre cada vuelta).
– La distancia recorrida por cada vuelta también aumenta, pasando de 1.885 metros a 2.513 metros.

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