El desafío del maestro arquero: Dominando el lanzamiento vertical

Cuando la flecha cae, su velocidad al impactar es igual en magnitud, pero opuesta en dirección, a la velocidad inicial con la que fue lanzada. Esto ocurre porque la aceleración es constante, el movimiento es simétrico y la flecha cae en el mismo punto desde el que fue lanzada.

Usamos la ecuación de velocidad para verificar:
\[
v = v_0 + a \cdot t.
\]
Para el descenso completo:
– \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\) (en la altura máxima),
– \(a = -9.8 \, \text{m/s}^2\) 
– \(t = t_{\text{bajada}} = t_{\text{subida}} = 2.04 \, \text{s}\).

Sustituyendo:
\[
v_{\text{impacto}} = 0 – 9.8 \cdot 2.04.
\]
\[
v_{\text{impacto}} \approx -20 \, \text{m/s}.
\]

Negativo porque la velocidad está dirigida hacia abajo.

Método alternativo para calcular la velocidad de impacto

Vamos a resolver el cálculo de la velocidad de impacto utilizando dos enfoques distintos: sin simetría (caída libre) y considerando el tiempo (con signo automático). Así demostraremos que ambos métodos llegan al mismo resultado y explicaremos por qué el signo es clave en física.

Enfoque 1: Usando la ecuación independiente del tiempo

Cuando la flecha cae al suelo, parte desde una altura máxima de \(y_0 = 20.4 \, \text{m}\) y llega al suelo en \(y = 0 \, \text{m}\). La velocidad inicial al inicio de la caída libre es \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\), y la aceleración es \(-9.8 \, \text{m/s}^2\) (negativa porque la gravedad apunta hacia abajo).

Usamos la ecuación independiente del tiempo para calcular la velocidad al impactar:
\[
v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot (y – y_0),
\]
donde:
– \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\),
– \(a = -9.8 \, \text{m/s}^2\),
– \(y_0 = 20.4 \, \text{m}\),
– \(y = 0 \, \text{m}\).

Sustituimos los valores:
\[
v^2 = 0 + 2 \cdot (-9.8) \cdot (0 – 20.4).
\]
\[
v^2 = 2 \cdot (-9.8) \cdot (-20.4).
\]
\[
v^2 = 2 \cdot 9.8 \cdot 20.4.
\]
\[
v^2 = 399.84.
\]
\[
v = \sqrt{399.84} \approx 20 \, \text{m/s}.
\]

La magnitud de la velocidad es \(v \approx 20 \, \text{m/s}\). Sin embargo, debemos analizar su dirección.

Cómo decidimos el signo de \(v\):

La ecuación independiente del tiempo trabaja con \(v^2\), que siempre es positivo, por lo que no incluye directamente información sobre la dirección del movimiento. El signo de \(v\) debe determinarse con base en el contexto físico:

1. Sabemos que la flecha está cayendo hacia abajo al final del movimiento.
2. Por definición, la dirección hacia abajo coincide con el signo de la gravedad (\(-9.8 \, \text{m/s}^2\)), por lo que \(v\) debe ser negativo.

Por lo tanto:
\[
v \approx -20 \, \text{m/s}.
\]

Enfoque 2: Usando la ecuación en función del tiempo

Vamos a calcularlo otra vez. La ecuación de velocidad en función del tiempo es:
\[
v = v_0 + a \cdot t,
\]
donde:
– \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\) (la velocidad inicial al inicio de la caída libre),
– \(a = -9.8 \, \text{m/s}^2\) (la gravedad actúa hacia abajo),
– \(t = 2.04 \, \text{s}\) (el tiempo de caída, igual al tiempo de subida).

Sustituimos los valores:
\[
v = 0 + (-9.8) \cdot 2.04.
\]
\[
v = -9.8 \cdot 2.04.
\]
\[
v \approx -20.0 \, \text{m/s}.
\]

Comparación de los enfoques

1. Independiente del tiempo:
– Calculamos \(v^2\), que es positivo por naturaleza, y luego asignamos el signo de \(v\) basándonos en la dirección del movimiento (hacia abajo).
– Resultado: \(v \approx -20.0 \, \text{m/s}\).

2. Con \(v = v_0 + a \cdot t\):
– El signo aparece automáticamente porque \(a = -9.8 \, \text{m/s}^2\) y el tiempo \(t\) es positivo.
– Resultado: \(v \approx -20.0 \, \text{m/s}\).

Ambos métodos son válidos y consistentes, llegando al mismo resultado.

Por qué no es trampa asignar el signo

Cuando usamos la fórmula independiente del tiempo, calculamos \(v^2\), que es siempre positivo. Esto no es un problema, ya que la física nos proporciona el contexto para interpretar el signo:
1. Si el objeto sube, \(v\) será positivo.
2. Si el objeto baja, \(v\) será negativo.

Al incluir el tiempo en el cálculo, como en \(v = v_0 + a \cdot t\), el signo se deduce automáticamente porque la aceleración y el tiempo están orientados en la dirección del movimiento.

Por tanto, no es trampa: es simplemente una cuestión de cómo las ecuaciones nos proporcionan la información y ambos métodos demuestran la coherencia de las ecuaciones de la cinemática. 😊