Imagina que pasas la tarde en el Parque de los Sueños, hogar de la icónica noria "La Rueda del Tiempo". Su estructura, adornada con luces y colores, gira majestuosa, como si tocara el cielo.
"¿Te atreves a calcular el secreto de esta noria?"
Te explica que la noria tiene un radio de 40 m desde el centro hasta los vagones y adremás, uno de sus engranajes internos, el responsable de su movimiento perfecto, está a 2 m del centro y su velocidad angular es \(3\pi \, \text{rad/min}\). Intrigado, aceptas el desafío para demostrar tus habilidades.a) ¿Cuánto tarda un punto situado en el engranaje en dar una vuelta completa? ¿Y un punto situado en los vagones de la noria?
b) ¿Cuánto espacio recorre un punto situado en el borde del engranaje durante medio minuto?
c) ¿Cuál es la velocidad lineal de un punto situado en el borde del engranaje? ¿y en los vagones?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
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Nos enfrentamos a un problema de movimiento circular uniforme (MCU), donde los puntos describen trayectorias circulares con una velocidad angular constante. Nuestra misión es calcular el período de giro, el espacio recorrido por un punto en el borde del engranaje y la velocidad lineal de distintos puntos de la noria y el engranaje. ¡Manos a la obra!
📝 Solución paso a paso
Datos del problema:
– Radio del engranaje interno: \( r_{\text{engranaje}} = 2 \, \text{m} \)
– Radio de la noria (vagones): \( R_{\text{noria}} = 40 \, \text{m} \)
– Velocidad angular: \( \omega = 3\pi \, \text{rad/min} \)
Primero, convertimos la velocidad angular al Sistema Internacional (SI):
\[
1 \, \text{min} = 60 \, \text{seg}
\]
Por lo tanto:
\[
\omega = 3\pi \, \text{rad/min} \times \frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{seg}} = \frac{3\pi}{60} \, \text{rad/seg} = \frac{\pi}{20} \, \text{rad/seg}
\]
a) Período de giro (\( T \)): Tiempo que tarda en completar una vuelta
La fórmula para el período es:
\[
T = \frac{2\pi}{\omega}
\]
Sustituyendo los datos:
\[
T_{\text{engranaje}} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{20}} = 2\pi \times \frac{20}{\pi} = 40 \, \text{segundos}
\]
¿El período cambia para los vagones?
La respuesta es no. Fíjate que en la fórmula del periodo, el radio no aparece, y eso es porque el período solo depende de la velocidad angular (\( \omega \)). Como tanto el engranaje como la noria giran con la misma velocidad angular, ambos tardan el mismo tiempo en completar una vuelta:
\[
T_{\text{noria}} = T_{\text{engranaje}} = 40 \, \text{segundos}
\]
b) Espacio recorrido por un punto situado en el borde del engranaje durante 30 segundos
El espacio recorrido por un punto que describe un arco circular es:
\[
s = r \cdot \theta
\]
donde:
– \( s \) es el espacio recorrido (en metros).
– \( r \) es el radio (en metros).
– \( \theta \) es el ángulo recorrido (en radianes).
Sabemos que el ángulo recorrido se obtiene como:
\[
\theta = \omega \cdot t
\]
Sustituyendo esta expresión en la fórmula del espacio recorrido:
\[
s = r \cdot (\omega \cdot t)
\]
Esta es una expresión más general que relaciona directamente el espacio recorrido con la velocidad angular, el tiempo y el radio.
Sustituyendo los valores:
– \( r = 2 \, \text{m} \)
– \( \omega = \frac{\pi}{20} \, \text{rad/seg} \)
– \( t = 30 \, \text{segundos} \)
\[
s = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{20} \cdot 30 \right) = 2 \cdot \frac{30\pi}{20} = \frac{60\pi}{20} = 3\pi \, \text{m}
\]
Aproximando el resultado:
\[
s \approx 3 \times 3,14 = 9,42 \, \text{m}
\]
Por lo tanto, el punto situado en el borde del engranaje recorre 9,42 metros durante 30 segundos.
c) Velocidad lineal de un punto en el borde del engranaje y en los vagones
La velocidad lineal de un punto en movimiento circular se calcula como:
\[
v = \omega \cdot r
\]
1. Velocidad lineal en el borde del engranaje:
Para el punto en el borde del engranaje (\( r = 2 \, \text{m} \)):
\[
v_{\text{engranaje}} = \frac{\pi}{20} \cdot 2 = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \, \text{m/seg}
\]
Aproximando:
\[
v_{\text{engranaje}} \approx \frac{3,14}{10} = 0,314 \, \text{m/seg}
\]
2. Velocidad lineal en el borde de la noria (vagones):
Para el punto en el borde de la noria (\( R = 40 \, \text{m} \)):
\[
v_{\text{noria}} = \frac{\pi}{20} \cdot 40 = \frac{40\pi}{20} = 2\pi \, \text{m/seg}
\]
Aproximando:
\[
v_{\text{noria}} \approx 2 \cdot 3,14 = 6,28 \, \text{m/seg}
\]
¿Por qué en este caso importa la velocidad lineal es diferente?
Aunque el engranaje y la noria tienen el mismo período y velocidad angular, la velocidad lineal depende del radio. Cuanto más lejos esté un punto del centro de rotación, mayor será su velocidad lineal, ya que recorre más distancia en el mismo tiempo.
Por eso, el punto en el borde de la noria, al estar a 40 metros del centro, se mueve mucho más rápido que un punto situado a 2 metros en el engranaje.
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