En el frío asfalto de un aparcamiento desierto, bajo la luz tenue de las farolas, Doc Brown le muestra a Marty McFly su última invención: el legendario DeLorean DMC-12, modificado para viajar en el tiempo.
Datos iniciales
Desde su posición inicial, el DeLorean está a 200 metros de distancia. Las ruedas del coche tienen un radio de 0,33 metros.
Tu misión: Ayuda a Doc y Marty a realizar los cálculos necesarios para asegurarse de que el DeLorean alcanzará la velocidad requerida y todo saldrá según lo planeado.
1. ¿Cuál es la aceleración angular de las ruedas del DeLorean, suponiendo que parte desde el reposo y recorre los 200 metros hasta alcanzar los 140 km/h?
2. ¿Cuántas vueltas completas realizan las ruedas durante este recorrido?
3. ¿Cuánto tiempo le lleva al DeLorean recorrer esta distancia?
4. ¿Qué velocidad angular tienen las ruedas cuando el coche alcanza los140 km/h?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
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Doc y Marty tienen un desafío único: asegurarse de que el DeLorean alcance exactamente los 140 km/h en un trayecto de 200 metros partiendo del reposo. Para lograrlo, exploraremos cómo el movimiento del coche y el giro de las ruedas están íntimamente relacionados mediante las leyes del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) y el Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUA).
Para resolver este problema, desglosaremos el movimiento en pasos:
1. Relacionaremos el movimiento lineal del coche con el movimiento angular de sus ruedas usando las fórmulas del MCUA.
2. Calcularemos la aceleración angular de las ruedas, el tiempo necesario y las vueltas completas.
3. Interpretaremos los resultados en el contexto de esta aventura épica. ¡Vamos allá!
Solución paso a paso
Doc y Marty observan expectantes cómo el DeLorean, estacionado a 200 metros, aguarda su momento para brillar. Con el radiocontrol en las manos de Doc, es hora de hacer los cálculos para asegurarse de que todo salga a la perfección.
Paso 1: Convertir la velocidad final a unidades del SI
El primer paso es asegurarse de trabajar con las unidades correctas. Doc recuerda que la velocidad final del DeLorean está expresada en kilómetros por hora, pero para los cálculos necesitamos convertirla a metros por segundo.
«¡Piensa, Marty! Una revolución del condensador de flujo se mide en segundos, no en horas. ¡Hazlo en el sistema internacional!», exclama Doc mientras apunta al radiocontrol.
\[
v_\text{final} = 140 \cdot \frac{1000}{3600}.
\]
Calculamos:
\[
v_\text{final} = 140 \cdot 0,27778 = 38,89 \ \text{m/s}.
\]
El DeLorean necesitará alcanzar una velocidad de 38,89 m/s para que el condensador de flujo funcione correctamente. Doc asiente satisfecho: «¡Perfecto! Ahora sabemos hacia dónde apuntamos.»
Paso 2: Calcular la aceleración lineal del coche
El coche comienza desde el reposo y debe recorrer 200 metros con aceleración constante. Doc decide calcular la aceleración necesaria para asegurarse de que el DeLorean alcanza la velocidad requerida. Usamos la fórmula:
\[
v_\text{final}^2 = v_\text{inicial}^2 + 2 \cdot a \cdot x.
\]
Sustituimos los valores:
\[
(38,89)^2 = 0 + 2 \cdot a \cdot 200.
\]
Despejamos \( a \):
\[
a = \frac{(38,89)^2}{2 \cdot 200} = \frac{1513,2}{400} = 3,783 \ \text{m/s}^2.
\]
«¡Eureka! La aceleración del DeLorean será de 3,78 m/s²«, exclama Doc con una chispa de orgullo en sus ojos.
Paso 3: Relacionar la aceleración lineal con la aceleración angular
Doc mira las ruedas del DeLorean y dice: «Ahora vamos a trabajar con el giro. Marty, las ruedas no solo deben girar, ¡deben girar rápido! La aceleración angular de las ruedas depende de esta aceleración lineal.»
La relación entre la aceleración lineal (\( a \)) y la aceleración angular (\( \alpha \)) es:
\[
a = \alpha \cdot r.
\]
Despejamos \( \alpha \):
\[
\alpha = \frac{a}{r} = \frac{3,783}{0,33} = 11,46 \ \text{rad/s}^2.
\]
«¡Once radianes por segundo cuadrado! Einstein viajará al pasado con un giro impresionante,» comenta Doc, emocionado.
Paso 4: Calcular el tiempo necesario
Doc ajusta el cronómetro y dice: «El DeLorean tiene que recorrer 200 metros en el menor tiempo posible, pero manteniendo una aceleración constante. ¡Calculemos cuánto tiempo necesitará para llegar a los 140 km/h!»
La fórmula del tiempo es:
\[
v_\text{final} = v_\text{inicial} + a \cdot t.
\]
Sustituimos los valores:
\[
38,89 = 0 + 3,783 \cdot t.
\]
Despejamos \( t \):
\[
t = \frac{38,89}{3,783} = 10,28 \ \text{s}.
\]
«Diez segundos. ¡Esa es nuestra ventana de tiempo, Marty! Einstein estará en el pasado antes de que podamos decir ‘condensador de flujo’.»
Paso 5: Determinar las vueltas completas de las ruedas
«Y ahora, Marty, piensa en las ruedas,» dice Doc, señalando los neumáticos del DeLorean. «¿Cuántas vueltas completas darán durante este trayecto? El giro de las ruedas es tan importante como la aceleración del coche.»
El ángulo total (\( \theta \)) que recorren las ruedas está relacionado con la distancia total:
\[
\theta = \frac{x}{r}.
\]
Sustituimos los valores (\( x = 200 \ \text{m} \), \( r = 0,33 \ \text{m} \)):
\[
\theta = \frac{200}{0,33} = 606,06 \ \text{rad}.
\]
Convertimos esto a vueltas completas (\( 1 \ \text{vuelta} = 2\pi \ \text{rad} \)):
\[
\text{Vueltas} = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{606,06}{6,28} \approx 96,5 \ \text{vueltas}.
\]
Doc sonríe. «¡Casi 97 vueltas completas! Einstein viajará con estilo.»
Finalmente, Doc calcula la velocidad angular final (\( \omega_\text{final} \)):
\[
v_\text{final} = \omega_\text{final} \cdot r.
\]
Despejamos \( \omega_\text{final} \):
\[
\omega_\text{final} = \frac{v_\text{final}}{r} = \frac{38,89}{0,33} = 117,85 \ \text{rad/s}.
\]
«¡Marty! Cuando el DeLorean alcance los 140 km/h, las ruedas girarán a 117,85 rad/s. ¡Es perfecto!»
Conclusión
El DeLorean está listo para viajar al pasado. Los cálculos confirman que:
1. Aceleración angular de las ruedas: 11,46 rad/s².
2. Tiempo necesario para alcanzar los 140 km/h: 10,28 segundos.
3. Vueltas completas de las ruedas: 96,5 vueltas.
4. Velocidad angular final de las ruedas: 117,85 rad/s.
Doc y Marty se miran emocionados. «¡Todo está listo para que Einstein haga historia!», dice Doc, mientras presiona el botón del radiocontrol. El DeLorean arranca, y en cuestión de segundos, desaparece en un destello de luz, dejando una doble estela de fuego en el aparcamiento que atraviesa sus piernas. La física, una vez más, lo ha hecho posible.
El Momento en Acción: Doc, Marty y el DeLorean
Si has resuelto este ejercicio, ¡enhorabuena! Ahora es momento de verlo en acción. En esta escena icónica de Regreso al Futuro, Doc demuestra cómo el DeLorean alcanza los 140 km/h para activar el condensador de flujo y enviar a Einstein al pasado. Todo lo que acabas de calcular está basado en este momento épico.
Mientras la ves, piensa en cómo la física que aplicaste hace posible esta hazaña: desde el movimiento lineal del coche hasta el giro preciso de sus ruedas. ¡La física no solo explica el mundo real, también da vida a grandes momentos del cine!
Caza el fallo. ¿Serás capaz de encontrarlo?
🕵️♂️ En el siguiente problema hemos escondido uno (o más) errores estratégicamente. Puede estar en el enunciado o en la solución, así que abre bien los ojos y prepárate. ¿Listo para demostrar que nada se te escapa?
En una prueba en circuito, Marty debe girar el DeLorean en una curva circular de radio \( r = 50 \, \text{m} \). Doc le pide mantener una velocidad constante de \( v = 36 \, \text{km/h} \) para asegurar que el condensador de flujo se mantenga estable.
¿Cuál es la aceleración centrípeta que experimenta el DeLorean mientras realiza el giro?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Encuentra el fallo
1. Datos iniciales:
– Velocidad: \( v = 36 \, \text{km/h} = \frac{36 \times 1000}{3600} = 10 \, \text{m/s} \)
– Radio: \( r = 50 \, \text{m} \)
– Fórmula de la aceleración centrípeta:
\[
a_c = \frac{v^2}{r}
\]
2. Cálculo de la aceleración centrípeta:
Sustituimos:
\[
a_c = \frac{10^2}{50} = \frac{100}{50} = 4 \, \text{m/s}^2
\]
Respuesta: La aceleración centrípeta es \( 4 \, \text{m/s}^2 \).
¿Dónde está el fallo?
Solución correcta sin errores (Inténtalo primero)
El fallo está en el cálculo de la fracción: al dividir \( 100 / 50 \), se cometió un error y se usó un denominador erróneo, colocando \( 25 \) en lugar de \( 50 \).
Resolución correcta (SIN EL FALLO):
1. Datos iniciales:
– Velocidad: \( v = 10 \, \text{m/s} \)
– Radio: \( r = 50 \, \text{m} \)
– Fórmula de la aceleración centrípeta:
\[
a_c = \frac{v^2}{r}
\]
2. Cálculo de la aceleración centrípeta:
Sustituimos:
\[
a_c = \frac{10^2}{50} = \frac{100}{50} = 2 \, \text{m/s}^2
\]
Respuesta correcta: La aceleración centrípeta es \( 2 \, \text{m/s}^2 \).
¡Atento a esto! Este tipo de errores, aunque parecen inofensivos, son los que te hacen perder puntos en el examen (o incluso en una máquina del tiempo). Estás concentrado en las fórmulas, confiando ciegamente en la calculadora, y zas, un número mal metido o un cálculo pasado por alto… ¡y todo el ejercicio se va al traste!
El verdadero propósito aquí es claro: enseñarte a revisar cada paso como si tu vida dependiera de ello. Unidades, operaciones, y hasta el signo de la división. Porque sí, la calculadora es útil, pero no es tu amiga si no la controlas. Así que, revisa dos veces, reflexiona, y cuando todo cuadre… ¡ahí sí, respira tranquilo!
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🤓 ¡Sigamos aprendiendo Juntos!
Resolver este ejercicio de Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUA) es solo el comienzo. Ahora es el momento de afianzar lo aprendido, reflexionar y desafiarte con nuevos problemas.
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