Durante el lanzamiento del Falcon Heavy, los boosters laterales se separan del cohete principal a una altitud de 60 kilómetros (\(60,000 \, \text{m}\)) y siguen ascendiendo con una velocidad inicial de \(400 \, \text{m/s}\) durante un tiempo t.
Queremos calcular los siguientes apartados:
1. ¿Cuánto tiempo permanecen ascendiendo por inercia y cuál es la altura máxima que alcanzan?
2. ¿Cuánto tiempo tarda el booster en descender desde la altura máxima hasta los \(2,000 \, \text{m}\)?
3. ¿Con qué velocidad llegan los boosters a los \(2,000 \, \text{m}\) justo antes de que los motores se activen?
4. ¿Cuánto tiempo tardan los motores en reducir la velocidad de los boosters a cero?
5. ¿Cuál es el tiempo total de vuelo desde la separación hasta el aterrizaje controlado? .
Dato adicional: Debemos tener en cuenta la resistencia del aire para resolver el ejercicio y la tomaremos como si fuese una aceleración que contraresta la de la gravedad con un valor de \(a_{\text{aire}} = 2 \, \text{m/s}^2\))
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️ Avanzado (7 /10)
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Este problema combina dos tipos de movimientos fundamentales que debemos entender :
1. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA): El ascenso y la caída libre del booster, donde la aceleración es constante debido a la gravedad y la resistencia del aire.
2. Movimiento con desaceleración constante: El frenado controlado mediante los motores, que aplican una aceleración hacia arriba para detener el booster antes de impactar el suelo.
Nuestra estrategia será dividir el análisis en tres fases:
– Fase 1: Ascenso por inercia. Analizaremos cuánto tiempo el booster sigue subiendo después de separarse y hasta qué altura máxima llega.
– Fase 2: Caída libre. Calcularemos cuánto tiempo tarda en descender desde la altura máxima hasta los \(2,000 \, \text{m}\), afectado por la gravedad y la resistencia del aire.
– Fase 3: Frenado controlado. Determinaremos cuánto tiempo necesitan los motores para detener el booster desde la velocidad que lleva al llegar a los \(2,000 \, \text{m}\).
Este problema es más desafiante que los habituales y requiere conocimientos más avanzados y técnicas que no suelen usarse en los ejercicios típicos de física de instituto. Pero no te preocupes, el esfuerzo valdrá la pena. Vamos a explicar cada paso con todo detalle, para que no solo llegues al resultado, sino que también entiendas el razonamiento físico detrás de cada cálculo. ¡Prepárate para poner a prueba tus habilidades y aprender algo nuevo!
📝 Solución paso a paso
Fase 1: Ascenso por inercia
Cuando el booster se separa, lleva una velocidad inicial hacia arriba de \(v_0 = 400 \, \text{m/s}\). Es decir, que durante un tiempo seguirá ascendiendo hasta que se detenga y empiece a caer.
En el ascenso, dos aceleraciones actúan sobre él:
1. La gravedad (\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)), que actúa hacia abajo.
2. La resistencia del aire, que la definimos como si fuese una aceleración constante de (\(a_{\text{aire}} = 2 \, \text{m/s}^2\)), que también frena su movimiento.
La aceleración total durante el ascenso es:
\[
a_{\text{total}} = g + a_{\text{aire}} = 9.8 + 2 = 11.8 \, \text{m/s}^2.
\]
La resistencia del aire siempre se opone al movimiento. Cuando el booster está ascendiendo hacia arriba (en la dirección positiva del eje), la resistencia actúa hacia abajo (dirección negativa del eje), en la misma dirección que la gravedad. Por ello, al calcular la aceleración total, sumamos ambos efectos porque tanto la gravedad como la resistencia contribuyen a frenar el movimiento hacia arriba.
1. Tiempo de ascenso:
El booster se detendrá momentáneamente al alcanzar la altura máxima (\(v = 0\)). Usamos la ecuación de velocidad:
\[
v = v_0 + a_{\text{total}} \cdot t.
\]
Sustituyendo:
\[
0 = 400 – 11.8 \cdot t_{\text{ascenso}}.
\]
\[
t_{\text{ascenso}} = \frac{400}{11.8} \approx 33.90 \, \text{s}.
\]
Si no tienes claro el porqué de los signos, recuerda el convenido de signos para la velocidad y g en el tiro vertical y caida libre.
2. Altura máxima alcanzada:
Usamos la ecuación de posición para calcular la altura adicional alcanzada durante el ascenso:
\[
y = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a_{\text{total}} \cdot t^2.
\]
Sustituyendo:
\[
y_{\text{máx}} = 60,000 + 400 \cdot 33.90 – \frac{1}{2}(11.8)(33.90)^2.
\]
Calculamos los términos:
\[
400 \cdot 33.90 \approx 13,560 \, \text{m},
\]
\[
\frac{1}{2}(11.8)(33.90)^2 \approx 6,770 \, \text{m}.
\]
\[
y_{\text{máx}} = 60,000 + 13,560 – 6,770 \approx 66,790 \, \text{m}.
\]
Altura máxima alcanzada: \(y_{\text{máx}} = 66,790 \, \text{m}\).
Fase 2: Caída libre
Ahora que hemos llegado a la altura máxima, el booster comienza a descender bajo la acción de:
– La gravedad (\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)).
– La resistencia del aire (\(a_{\text{aire}} = 2 \, \text{m/s}^2\)).
La aceleración total durante la caída es:
\[
a_{\text{caída}} = g + a_{\text{aire}} = 9.8 – 2 = 7.8 \, \text{m/s}^2.
\]
La resistencia del aire siempre se opone al movimiento. Cuando el booster cae hacia abajo (en la dirección negativa del eje), la resistencia actúa frenándolo en cierto modo. Por ello, al calcular la aceleración total, restamos su efecto a la g porque reduce la aceleración neta hacia abajo, que está dominada por la gravedad.
1. Tiempo de caída libre:
La caída libre termina cuando el booster alcanza los \(2,000 \, \text{m}\). La distancia recorrida durante esta fase es:
\[
\Delta y_{\text{caída}} = y_{\text{máx}} – 2,000 = 66,790 – 2,000 = 64,790 \, \text{m}.
\]
Usamos la ecuación de posición:
\[
y = y_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a_{\text{caída}} \cdot t^2.
\]
Sustituimos:
\[
2,000 = 66,790 + 0 \cdot t + \frac{1}{2}(-7.8)t^2.
\]
\[
-64,790 = -3.9 \cdot t^2.
\]
\[
t^2 = \frac{64,790}{3.9} \approx 16,612.
\]
\[
t_{\text{caída}} = \sqrt{16,612} \approx 128.94 \, \text{s}.
\]
2. Velocidad al llegar a los \(2,000 \, \text{m}\):
Usamos la ecuación de velocidad:
\[
v = v_0 + a_{\text{caída}} \cdot t.
\]
\[
v = 0 + (-7.8) \cdot 128.94.
\]
\[
v \approx -1,005.73 \, \text{m/s}.
\]
Velocidad al llegar a los \(2,000 \, \text{m}\): \(v = -1,005.73 \, \text{m/s}\) (hacia abajo).
Fase 3: Frenado controlado
Cuando los motores se encienden a 2,000 metros del suelo, el booster tiene una velocidad inicial de \(v_{\text{inicial}} = -1,005.73 \, \text{m/s}\) (hacia abajo). Durante esta fase, tres fuerzas actúan sobre él:
1. La aceleración de los motores (\(a_{\text{motores}} = +30 \, \text{m/s}^2\)), que actúa hacia arriba y frena el movimiento.
2. La resistencia del aire (\(a_{\text{aire}} = +2 \, \text{m/s}^2\)), que también actúa hacia arriba, ayudando al frenado.
3. La gravedad (\(g = -9.8 \, \text{m/s}^2\)), que actúa hacia abajo, oponiéndose al frenado.
La aceleración total durante esta fase es la suma vectorial de estas fuerzas:
\[
a_{\text{total}} = a_{\text{motores}} + a_{\text{aire}} + g.
\]
Sustituimos los valores:
\[
a_{\text{total}} = +30 + 2 – 9.8 = +22.2 \, \text{m/s}^2.
\]
Tiempo de frenado
Para calcular cuánto tiempo tardan los motores en detener el booster, usamos la ecuación de velocidad:
\[
v_{\text{final}} = v_{\text{inicial}} + a_{\text{total}} \cdot t.
\]
Sustituyendo:
\[
0 = -1,005.73 + 22.2 \cdot t_{\text{frenado}}.
\]
\[
t_{\text{frenado}} = \frac{1,005.73}{22.2} \approx 45.31 \, \text{s}.
\]
Tiempo total del vuelo
El tiempo total es la suma de los tiempos de cada fase:
1. Tiempo de ascenso: \(t_{\text{ascenso}} = 33.90 \, \text{s}\).
2. Tiempo de caída libre: \(t_{\text{caída}} = 128.94 \, \text{s}\).
3. Tiempo de frenado: \(t_{\text{frenado}} = 45.31 \, \text{s}\).
\[
t_{\text{total}} = t_{\text{ascenso}} + t_{\text{caída}} + t_{\text{frenado}}.
\]
\[
t_{\text{total}} = 33.90 + 128.94 + 45.31 \approx 208.15 \, \text{s}.
\]
Resultados finales
1. Altura máxima alcanzada: \(y_{\text{máx}} = 66,790 \, \text{m}\).
2. Tiempo de caída libre hasta los \(2,000 \, \text{m}\): \(t_{\text{caída}} \approx 128.94 \, \text{s}\).
3. Velocidad al llegar a los \(2,000 \, \text{m}\): \(v_{\text{inicial}} \approx -1,005.73 \, \text{m/s}\).
4. Tiempo de frenado: \(t_{\text{frenado}} \approx 45.31 \, \text{s}\).
5. Tiempo total del vuelo: \(t_{\text{total}} \approx 208.15 \, \text{s}\).
🚀 Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?
En el próximo apartado, exploraremos un dato increíble: ¿cuánto tiempo tarda Félix en romper la barrera del sonido? ¿Qué ocurre si consideramos la resistencia del aire? ¡Prepárate para un «Qué pasaría si…» que llevará tus cálculos a un nuevo nivel!
Imaginemos que el booster no se encienden al llegar a \(2,000 \, \text{m}\), y el booster cae descontroladamente desde la altura máxima hasta el suelo, influenciado únicamente por la gravedad (\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)) y la resistencia del aire (\(a_{\text{aire}} = +2 \, \text{m/s}^2\)), que actúa hacia arriba, oponiéndose al movimiento..
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️ Intermedio (5 /10)
En este caso, queremos calcular la velocidad con la que impacta el suelo desde la altura máxima (\(y_{\text{máx}} = 66,790 \, \text{m}\)).
Datos del problema:
1. Altura inicial: \(y_{\text{máx}} = 66,790 \, \text{m}\).
2. Altura final: \(y_{\text{suelo}} = 0 \, \text{m}\).
3. Velocidad inicial: \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\) (el booster comienza la caída desde reposo en la altura máxima).
4. Gravedad: \(g = -9.8 \, \text{m/s}^2\) (hacia abajo).
5. Resistencia del aire: \(a_{\text{aire}} = +2 \, \text{m/s}^2\) (hacia arriba, oponiéndose a la gravedad).
6. Aceleración total:
La aceleración neta es la combinación de \(g\) y \(a_{\text{aire}}\):
\[
a_{\text{total}} = g + a_{\text{aire}} = -9.8 + 2 = -7.8 \, \text{m/s}^2.
\]
Cálculo de la velocidad final
Para determinar la velocidad final al impactar el suelo, usamos la fórmula independiente del tiempo, que relaciona la velocidad con la posición sin necesidad de calcular el tiempo:
\[
v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a_{\text{total}} \cdot (y_{\text{final}} – y_{\text{inicial}}).
\]
Sustituimos los valores:
\[
v^2 = 0^2 + 2 \cdot (-7.8) \cdot (0 – 66,790).
\]
\[
v^2 = 2 \cdot (-7.8) \cdot (-66,790).
\]
\[
v^2 = 2 \cdot 7.8 \cdot 66,790.
\]
\[
v^2 = 1,041,924.
\]
\[
v = \sqrt{1,041,924} \approx 1,020.74 \, \text{m/s}.
\]
Si el booster cae descontroladamente desde la altura máxima sin encender los motores, impactará el suelo con una velocidad de aproximadamente \(v \approx 1,020.74 \, \text{m/s}\). 😨
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