El Disparo del Siglo: Matemáticas, Barcos Piratas y un General Implacable

El cañón ha sido elevado a 100 metros sobre el nivel del mar y debe alcanzar un barco situado a 25.000 metros de distancia horizontal. El ángulo de lanzamiento es \(45^\circ\), y necesitamos calcular la velocidad inicial \(v_0\) necesaria para que el proyectil impacte en el barco.

Datos del problema
1. Altura inicial (\(y_0\)): \(100 \ \text{m}\).
2. Distancia horizontal (\(x\)): \(25.000 \ \text{m}\).
3. Ángulo de lanzamiento (\(\theta\)): \(45^\circ\).
4. Aceleración de la gravedad (\(g\)): \(9,8 \ \text{m/s}^2\).

Ecuaciones principales

Sabemos que el proyectil sigue una trayectoria parabólica, y la posición en función del tiempo está dada por estas ecuaciones:

1. Posición horizontal:
\[
x = v_{0x} t \quad \text{donde} \quad v_{0x} = v_0 \cos \theta.
\]

2. Posición vertical:
\[
y = y_0 + v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2 \quad \text{donde} \quad v_{0y} = v_0 \sin \theta.
\]

Para que el proyectil alcance el barco, la posición horizontal debe ser \(x = 25.000 \ \text{m}\) y la posición vertical debe ser \(y = 0 \ \text{m}\).

Relación entre tiempo y \(v_0\)

De la ecuación de la posición horizontal:

\[
t = \frac{x}{v_{0x}} = \frac{x}{v_0 \cos \theta}.
\]

Sustituimos esta expresión de \(t\) en la ecuación de la posición vertical.

Ecuación para \(y = 0\)

La posición vertical es:

\[
y = y_0 + v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2.
\]

Para \(y = 0\):

\[
0 = y_0 + v_0 \sin \theta \cdot t – \frac{1}{2} g t^2.
\]

Sustituimos \(t = \frac{x}{v_0 \cos \theta}\):

\[
0 = y_0 + v_0 \sin \theta \cdot \frac{x}{v_0 \cos \theta} – \frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta} \right)^2.
\]

 Simplificamos la ecuación

1. El segundo término:
\[
v_0 \sin \theta \cdot \frac{x}{v_0 \cos \theta} = x \tan \theta.
\]

2. El tercer término:
\[
\frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta} \right)^2 = \frac{1}{2} g \frac{x^2}{v_0^2 \cos^2 \theta}.
\]

La ecuación queda como:

\[
0 = y_0 + x \tan \theta – \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \theta}.
\]

Despejamos \(v_0^2\)

Reorganizamos términos:

\[
\frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} = y_0 + x \tan \theta.
\]

Despejamos \(v_0^2\):

\[
v_0^2 = \frac{g x^2}{2 \cos^2 \theta \left( y_0 + x \tan \theta \right)}.
\]

Finalmente, la velocidad inicial es:

\[
v_0 = \sqrt{\frac{g x^2}{2 \cos^2 \theta \left( y_0 + x \tan \theta \right)}}.
\]

Sustituimos valores

1. \( g = 9,8 \ \text{m/s}^2 \),
2. \( x = 25.000 \ \text{m} \),
3. \( y_0 = 100 \ \text{m} \),
4. \( \theta = 45^\circ \), así que:
\[
\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tan 45^\circ = 1.
\]

Sustituimos:

\[
v_0 = \sqrt{\frac{9,8 \cdot (25.000)^2}{2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \left( 100 + 25.000 \cdot 1 \right)}}.
\]

Calculamos paso a paso:

1. \( x^2 = 25.000^2 = 625.000.000 \),
2. \( \cos^2 45^\circ = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 0,5 \),
3. \( y_0 + x \tan \theta = 100 + 25.000 = 25.100 \).

Sustituimos:

\[
v_0 = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 625.000.000}{2 \cdot 0,5 \cdot 25.100}}.
\]

Simplificamos:

1. \( 2 \cdot 0,5 = 1 \),
2. \( v_0 = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 625.000.000}{25.100}} \),
3. \( 9,8 \cdot 625.000.000 = 6.125.000.000 \),
4. \( \frac{6.125.000.000}{25.100} \approx 244.000 \).

Por lo tanto:

\[
v_0 = \sqrt{244.000} \approx 494 \ \text{m/s}.
\]

Respuesta final

La velocidad inicial necesaria para alcanzar el barco es aproximadamente:

\[
\boxed{494 \ \text{m/s}}
\]

El cañón está listo para disparar con precisión quirúrgica. Cada detalle en los cálculos asegura que el proyectil impactará donde debe, ¡y la victoria está garantizada!