Cooper está al mando de la Ranger en uno de los momentos más críticos de la misión. La Endurance, dañada tras un desastre orbital, gira fuera de control a una velocidad de 66,68 rpm mientras desciende hacia la atmósfera de un gigantesco planeta, donde la fricción la desintegrará en cuestión de segundos si no es estabilizada.
- La Endurance gira a \( \omega_\text{Endurance} = 66,68 \ \text{rpm} \), una velocidad angular peligrosa.
- La Ranger, que parte desde el reposo (\( \omega_\text{inicial} = 0 \)), puede acelerar angularmente a razón de \( \alpha_\text{Ranger} = 2 \ \text{rad/s}^2 \).
- El radio del módulo de acoplamiento de la Endurance es \( r = 10 \ \text{m} \).
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Preguntas
1. ¿Cuál es la velocidad angular de la Endurance en radianes por segundo (\( \text{rad/s} \))?
2. ¿Cuánto tiempo necesita Cooper para igualar la velocidad angular de la Endurance con la Ranger?
3. ¿Cuántas vueltas completas realiza la Ranger durante la maniobra de sincronización?
4. ¿Qué velocidad lineal tiene un punto en el borde del módulo de acoplamiento al sincronizarse?
5. ¿Qué maniobra debe realizar Cooper para detener el giro de ambas naves y dejarlas en reposo antes de que sea demasiado tarde?
En este problema, trabajaremos con las fórmulas del Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUA) para calcular paso a paso los valores que Cooper necesita. La clave es dominar la sincronización, entender las trayectorias circulares y planificar un frenado eficiente para estabilizar ambas naves.
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Solución paso a paso
Paso 1: Convertir la velocidad angular de la Endurance a rad/s
Cooper observa cómo la Endurance gira sin control, a punto de desintegrarse en la atmósfera del planeta gigante. Desde su cabina, sabe que primero debe convertir la velocidad angular de la nave dañada, expresada en revoluciones por minuto (\( \text{rpm} \)), a radianes por segundo (\( \text{rad/s} \)) para que los cálculos sean precisos y útiles.
¿Por qué hacerlo? Porque las fórmulas del Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUA) trabajan con unidades en radianes por segundo. Para convertir, usamos el hecho de que una revolución equivale a \( 2\pi \) radianes, y un minuto tiene \( 60 \) segundos.
La fórmula es:
\[
\omega_\text{Endurance} = 66,68 \cdot \frac{2\pi}{60}.
\]
Veamos paso a paso cómo hacerlo:
1. Primero, calculamos el factor de conversión:
\[
\frac{2\pi}{60} = 0,10472 \ \text{rad/s por rpm}.
\]
2. Multiplicamos este valor por \( 66,68 \ \text{rpm} \):
\[
66,68 \cdot 0,10472 = 6,99 \ \text{rad/s}.
\]
La Endurance está girando a una velocidad angular de 6,99 rad/s, un giro rápido que Cooper debe igualar para acoplarse con precisión.
Paso 2: Calcular el tiempo necesario para igualar las velocidades angulares
Cooper necesita sincronizar la velocidad angular de la Ranger con la de la Endurance. Actualmente, la Ranger está en reposo (\( \omega_\text{inicial} = 0 \)) y puede acelerar angularmente a razón de \( \alpha = 2 \ \text{rad/s}^2 \).
Usaremos la fórmula del MCUA que relaciona la velocidad angular con el tiempo y la aceleración:
\[
\omega_\text{final} = \omega_\text{inicial} + \alpha \cdot t.
\]
Sustituimos los valores conocidos:
\[
6,99 = 0 + 2 \cdot t.
\]
Despejamos \( t \):
\[
t = \frac{6,99}{2} = 3,495 \ \text{s}.
\]
Cooper necesita 3,5 segundos para igualar la velocidad angular de ambas naves. Este tiempo es crítico, pues la Endurance sigue acercándose a la atmósfera.
Paso 3: Determinar el ángulo total recorrido por la Ranger
Mientras acelera, la Ranger recorre un ángulo en radianes que podemos calcular con la fórmula:
\[
\theta = \omega_\text{inicial} \cdot t + \frac{1}{2} \alpha \cdot t^2.
\]
Sustituimos los valores (\( \omega_\text{inicial} = 0 \), \( t = 3,495 \ \text{s} \)):
\[
\theta = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (3,495)^2.
\]
Calculamos paso a paso:
1. Elevamos \( 3,495 \) al cuadrado:
\[
(3,495)^2 = 12,222.
\]
2. Multiplicamos por \( \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \):
\[
\theta = 1 \cdot 12,222 = 12,222 \ \text{rad}.
\]
Convertimos este ángulo en vueltas completas, sabiendo que una vuelta equivale a \( 2\pi \ \text{rad} \):
\[
\text{Vueltas} = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{12,222}{6,28} \approx 1,95 \ \text{vueltas}.
\]
👉 Durante la maniobra de sincronización, la Ranger completa casi 2 vueltas completas.
Paso 4: Calcular la velocidad lineal en el borde del módulo de acoplamiento
La velocidad lineal de un punto en el borde del módulo de acoplamiento de la Endurance está relacionada con la velocidad angular y el radio. La fórmula es:
\[
v = \omega \cdot r.
\]
Sustituimos los valores (\( \omega = 6,99 \ \text{rad/s} \), \( r = 10 \ \text{m} \)):
\[
v = 6,99 \cdot 10 = 69,9 \ \text{m/s}.
\]
👉 Al sincronizarse, un punto en el borde del módulo de acoplamiento se mueve a 69,9 m/s. Esta velocidad pone en evidencia la precisión que Cooper necesita para evitar daños durante el acoplamiento.
Paso 5: Frenar y estabilizar ambas naves
Con las naves acopladas, Cooper debe detener su rotación conjunta para estabilizar la situación. Esta maniobra implica desacelerar angularmente desde \( \omega = 6,99 \ \text{rad/s} \) hasta el reposo (\( \omega = 0 \)) usando la misma aceleración angular (\( \alpha = 2 \ \text{rad/s}^2 \)), pero en sentido contrario. Ahora el signo de la aceleración angular es negativo.
\[
\omega_\text{final} = \omega_\text{inicial} – \alpha \cdot t.
\]
Sustituimos los valores:
\[
0 = 6,99 – 2 \cdot t.
\]
Despejamos \( t \):
\[
t = \frac{6,99}{2} = 3,495 \ \text{s}.
\]
👉Cooper necesita otros 3,5 segundos para frenar y estabilizar la nave.
Paso 5: Frenar y estabilizar ambas naves
Si has llegado hasta aquí, ya habrás notado que este ejercicio está inspirado en una de las escenas más épicas del cine de ciencia ficción: el acoplamiento de la Ranger a la Endurance en la película Interestelar.
En el siguiente video, puedes ver cómo Cooper, utilizando los principios del Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUA), logra sincronizar el giro de su nave con la Endurance, permitiendo un acoplamiento perfecto
Mientras ves la escena, fíjate en cómo Cooper ajusta la velocidad angular de la Ranger para igualarla con la Endurance y cómo este cálculo, que acabas de resolver, es exactamente el mismo principio que se utiliza en la realidad.
Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?
La Ranger Sufre un Contratiempo
La maniobra de acoplamiento está en marcha. Cooper, con precisión milimétrica, acelera la Ranger para sincronizar su giro con la velocidad angular de la Endurance, que gira a \( 66,68 \ \text{rpm} \) (\( 6,99 \ \text{rad/s} \)). Pero justo cuando está a punto de alcanzar la velocidad angular deseada, un fragmento de la nave dañada golpea un estabilizador de la Ranger.
El impacto reduce la capacidad de aceleración angular de la Ranger a la mitad, pasando de \( 2 \ \text{rad/s}^2 \) a \( 1 \ \text{rad/s}^2 \).
El reloj no se detiene: la Endurance está entrando en la atmósfera y se desintegrará en 20 segundos si no es estabilizada. Ahora Cooper debe recalcular rápidamente cómo completar la maniobra con esta nueva limitación.
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
1. ¿Cuánto tiempo tardará ahora la Ranger en igualar la velocidad angular de la Endurance?
Cooper debe sincronizar la Ranger con la Endurance, acelerando desde el reposo (\( \omega_\text{inicial} = 0 \)) hasta \( \omega_\text{final} = 6,99 \ \text{rad/s} \) con una aceleración angular reducida de \( \alpha = 1 \ \text{rad/s}^2 \).
Usamos la fórmula del MCUA:
\[
\omega_\text{final} = \omega_\text{inicial} + \alpha \cdot t.
\]
Sustituimos los valores:
\[
6,99 = 0 + 1 \cdot t.
\]
Despejamos \( t \):
\[
t = \frac{6,99}{1} = 6,99 \ \text{s}.
\]
👉 Ahora Cooper necesitará 6,99 segundos para sincronizar el giro de la Ranger con la Endurance, el doble de tiempo que antes.
2. ¿Cuántas vueltas completas realizará durante esta maniobra más lenta?
La Ranger recorre un ángulo total (\( \theta \)) durante este tiempo, calculado por:
\[
\theta = \omega_\text{inicial} \cdot t + \frac{1}{2} \alpha \cdot t^2.
\]
Sustituimos los valores (\( \omega_\text{inicial} = 0 \), \( \alpha = 1 \), \( t = 6,99 \)):
\[
\theta = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (6,99)^2.
\]
Calculamos paso a paso:
1. \( (6,99)^2 = 48,86 \).
2. \( \frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5 \).
3. \( \theta = 0,5 \cdot 48,86 = 24,43 \ \text{rad}. \)
Convertimos \( \theta \) en vueltas completas (\( 1 \ \text{vuelta} = 2\pi \ \text{rad} \)):
\[
\text{Vueltas} = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{24,43}{6,28} \approx 3,89 \ \text{vueltas}.
\]
👉 La Ranger dará aproximadamente 3,89 vueltas completas durante esta maniobra.
3. ¿Le quedará suficiente tiempo para frenar ambas naves y estabilizarlas antes de que entren en la atmósfera?
Cooper tiene 20 segundos antes de que la Endurance entre en la atmósfera. Ahora sabemos que sincronizar las velocidades angulares de las naves le toma 6,99 segundos.
Después de sincronizarse, Cooper debe frenar ambas naves hasta dejarlas en reposo. La maniobra de frenado será simétrica a la de aceleración: usará la misma aceleración angular, pero en sentido opuesto. Por lo tanto, el tiempo necesario para frenar será también de 6,99 segundos.
Tiempo total requerido:
\[
\text{Tiempo total} = \text{Tiempo de aceleración} + \text{Tiempo de frenado}.
\]
\[
\text{Tiempo total} = 6,99 + 6,99 = 13,98 \ \text{s}.
\]
👉 Cooper necesitará 13,98 segundos para completar todo el proceso, quedándole un margen de:
\[
\text{Margen de tiempo} = 20 – 13,98 = 6,02 \ \text{s}.
\]
El impacto ha complicado la situación, pero gracias a un cálculo rápido y a la reducción precisa de la aceleración angular, Cooper logra sincronizarse y estabilizar la Endurance con un margen de seguridad de 6 segundos.
Sin embargo, este margen tan estrecho subraya lo crítico de cada decisión en el espacio.
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