Desde una ventana de una casa que está a 15 m de altura, lanzamos un chorro de agua a 20 m/s con un ángulo de 40º sobre la horizontal.

Despreciando el rozamiento con el aire, calcula:

a) ¿A qué distancia de la base de la casa caerá el agua?

b) ¿Con qué velocidad llegará el agua al suelo?

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)

Imagina que es un día soleado y estás regando tus plantas en el balcón. Apuntas la manguera hacia arriba y observas cómo el agua sigue una elegante curva antes de caer al suelo. ¿Hasta dónde llegará? ¿Con qué velocidad caerá el agua al final?

Este ejercicio es una oportunidad perfecta para explorar el famoso tiro parabólico, un movimiento en dos dimensiones donde se combinan:
– Un movimiento horizontal uniforme (sin aceleración).
– Un movimiento vertical uniformemente acelerado (bajo la influencia de la gravedad).

Más allá del chorro de agua, esta situación es muy similar al disparo de una pelota de béisbol o el lanzamiento de un proyectil. Y sí, detrás de cada uno de estos eventos se esconden las mismas leyes físicas que vamos a aplicar aquí.

📝 Solución paso a paso

Datos Clave del Problema: ¿Qué Sabemos y Qué Nos Piden?

Datos conocidos (lo que sabemos):
– Altura inicial (\(y_0\)): \(15 \, \text{m}\) (altura de la ventana).
– Velocidad inicial (\(v_0\)): \(20 \, \text{m/s}\).
– Ángulo de lanzamiento (\(\theta\)): \(40^\circ\).
– Gravedad (\(g\)): \(9.8 \, \text{m/s}^2\) (aceleración hacia abajo).

Lo que nos piden calcular:
a) Distancia horizontal (\(x\)) desde la base de la casa hasta donde cae el agua.
b) Velocidad final del agua cuando llega al suelo, lo expresaremos como un vector con componentes \( \hat{i} \) (horizontal) y \( \hat{j} \) (vertical).

a) ¿A qué distancia de la base de la casa caerá el agua?

Paso 1: Desglose del movimiento inicial

El lanzamiento de agua se realiza con una velocidad de \(20 \, \text{m/s}\) y un ángulo de \(40^\circ\). Podemos descomponer esta velocidad en sus componentes horizontal y vertical:
– Velocidad inicial en \(x\) (\(v_{0x}\)):
\[
v_{0x} = v_0 \cos(\theta)
\]
Esta componente describe el movimiento horizontal uniforme**.
– Velocidad inicial en \(y\) (\(v_{0y}\)):
\[
v_{0y} = v_0 \sin(\theta)
\]

Calculamos:
\[
v_{0y} \approx 20 \cdot 0.6428 = 12.856 \, \text{m/s}
\]
Esta componente describe el movimiento vertical uniformemente acelerado por la gravedad.

Paso 2: Movimiento en el eje vertical

El tiempo que tarda el agua en llegar al suelo depende únicamente del movimiento vertical. Aquí aplicamos la ecuación del desplazamiento vertical:
\[
y = y_0 + v_{0y}t – \frac{1}{2} g t^2
\]
Sabemos que el agua llega al suelo cuando \(y = 0 \, \text{m}\), así que sustituimos los valores:
– \(y_0 = 15 \, \text{m}\)
– \(v_{0y} = 20 \sin(40^\circ)\)
– \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)

Esto nos lleva a una ecuación cuadrática en \(t\). 

Reescribimos la ecuación con los números:
\[
0 = 15 + 12.856 \cdot t – 4.9 \cdot t^2
\]

Esta es una ecuación cuadrática de la forma:
\[
0 = a t^2 + b t + c
\]
Con:
– \(a = -4.9\)
– \(b = 12.856\)
– \(c = 15\)

La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática es:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]


Primero, calculamos el discriminante (\(\Delta\)):
\[
\Delta = b^2 – 4ac
\]

\[
\Delta = (12.856)^2 – 4 \cdot (-4.9) \cdot 15
\]
\[
\Delta \approx 165.32 + 294 = 459.32
\]


Ahora calculamos los dos posibles valores de \(t\):
\[
t = \frac{-12.856 \pm \sqrt{459.32}}{2 \cdot (-4.9)}
\]

\[
\sqrt{459.32} \approx 21.45
\]

\[
t_1 = \frac{-12.856 + 21.45}{-9.8}, \quad t_2 = \frac{-12.856 – 21.45}{-9.8}
\]
\[
t_1 \approx \frac{8.594}{-9.8} \approx -0.88 \, \text{s} \quad (\text{descartamos por ser negativo})
\]
\[
t_2 \approx \frac{-34.306}{-9.8} \approx 3.68 \, \text{s}
\]

El tiempo total de vuelo es:
\[
t_{\text{total}} = 3.68 \, \text{segundos}
\]

Paso 3: Movimiento en el eje horizontal

En el eje horizontal, el agua sigue un movimiento uniforme con velocidad constante \(v_{0x} = v_0 \cos(40^\circ)\). La distancia horizontal recorrida es:
\[
x = v_{0x} \cdot t_{\text{total}}
\]

Sustituyendo los valores:
\[
x \approx 20 \cos(40^\circ) \times 3.68 \, \text{segundos} \approx 52.7 \, \text{m}
\]


El agua caerá a una distancia de \(52.7 \, \text{m}\) desde la base de la casa. Esto nos muestra que el ángulo de lanzamiento tiene un gran impacto en la distancia horizontal:un ángulo más bajo o más alto podría hacer que el chorro caiga más cerca.

b) ¿Con qué velocidad llegará el agua al suelo?

La componente horizontal de la velocidad no cambia durante el vuelo, ya que no hay fuerzas que actúen en esa dirección (despreciamos el rozamiento). Por lo tanto:
\[
v_x = v_{0x} = 20 \cos(40^\circ) \approx 15.32 \, \text{m/s}
\]

 

La velocidad vertical sí cambia debido a la aceleración de la gravedad. Usamos la ecuación:
\[
v_y = v_{0y} – g \cdot t_{\text{total}}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
v_y \approx 20 \sin(40^\circ) – 9.8 \times 3.68 \approx -21.6 \, \text{m/s}
\]
Nota: El signo negativo indica que el agua se mueve hacia abajo.

 

La velocidad final se expresa vectorialmente como:
\[
\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}
\]
Sustituyendo:
\[
\vec{v} \approx 15.32 \, \hat{i} – 21.6 \, \hat{j} \, \text{m/s}
\]

🤔 Qué pasaría si...

Aquí es donde ponemos a prueba tu curiosidad y llevamos el ejercicio un paso más allá. Exploraremos qué sucede si cambiamos algunos datos: más tiempo, más velocidad… ¡todo puede cambiar!

Esto te ayudará a entender mejor cómo funcionan las fórmulas y a anticipar resultados sin miedo. ¿Preparado para pensar como un auténtico físico?

¿Qué ocurre si en lugar de lanzar el agua con un ángulo de \(40^\circ\) hacia arriba, lo hacemos con un ángulo de \(-40^\circ\) (hacia abajo respecto a la horizontal)?

Cuál sería su alcance horizontal?

Cuando apuntamos hacia abajo, la componente de la velocidad inicial en el eje \(y\) (\(v_{0y}\)) es negativa. Esto significa que el agua empieza su recorrido con una tendencia a bajar de inmediato, acelerada aún más por la gravedad. La trayectoria deja de ser una parábola elegante con un punto máximo alto y se convierte en un recorrido mucho más corto y directo hacia el suelo.

Resolución del Problema Paso a Paso:

1. Ecuación del Movimiento Vertical
La ecuación que describe el desplazamiento vertical es:
\[
y = y_0 + v_{0y}t – \frac{1}{2} g t^2
\]
Donde:
– \(y = 0 \, \text{m}\) (suelo).
– \(y_0 = 15 \, \text{m}\) (altura inicial).
– \(v_{0y} = v_0 \sin(\theta)\).
Con \(\theta = -40^\circ\), tenemos:
\[
v_{0y} = 20 \sin(-40^\circ) \approx 20 \cdot (-0.6428) = -12.856 \, \text{m/s}
\]
– \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\).

La ecuación se convierte en:
\[
0 = 15 – 12.856 t – 4.9 t^2
\]

2. Resolver la Ecuación Cuadrática
Reorganizamos la ecuación:
\[
0 = -4.9 t^2 – 12.856 t + 15
\]
Aplicamos la fórmula cuadrática:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
Con:
– \(a = -4.9\)
– \(b = -12.856\)
– \(c = 15\)

Calculamos el discriminante:
\[
\Delta = (-12.856)^2 – 4 \cdot (-4.9) \cdot 15 \approx 165.32 + 294 = 459.32
\]
La raíz cuadrada del discriminante es:
\[
\sqrt{459.32} \approx 21.45
\]
Sustituyendo:
\[
t = \frac{-(-12.856) \pm 21.45}{2 \cdot (-4.9)}
\]

\[
t_1 = \frac{12.856 + 21.45}{-9.8} \approx \frac{34.306}{-9.8} \approx -3.5 \, \text{s} \quad (\text{descartamos por ser negativo})
\]
\[
t_2 = \frac{12.856 – 21.45}{-9.8} \approx \frac{-8.594}{-9.8} \approx 0.88 \, \text{s}
\]

3. Tiempo de Vuelo Total
El tiempo total de vuelo es:
\[
t_{\text{total}} = 0.88 \, \text{segundos}
\]

4. Desplazamiento Horizontal (\(x\))
La distancia horizontal se calcula con:
\[
x = v_{0x} \cdot t_{\text{total}}
\]
La componente horizontal de la velocidad es:
\[
v_{0x} = v_0 \cos(\theta) = 20 \cos(-40^\circ) \approx 20 \cdot 0.766 = 15.32 \, \text{m/s}
\]

\[
x \approx 15.32 \cdot 0.88 \approx 13.48 \, \text{m}
\]


Cuando apuntamos el chorro hacia abajo con un ángulo de \(-40^\circ\), el agua llega al suelo en solo \(0.88 \, \text{segundos}\) y recorre una distancia horizontal de aproximadamente \(13.5 \, \text{m}\). La trayectoria es mucho más corta y directa que cuando el chorro se lanza hacia arriba, ya que el componente vertical inicial ya está apuntando hacia el suelo, lo que suena muy lógico.

😵 Errores frecuentes al resolver este tipo de problemas:

En esta sección te muestro los errores más habituales que suelen cometer los estudiantes para que los reconozcas al instante y los esquives sin problema. 

1. Confundir Unidades

Convertir mal los ángulos, velocidades o alturas al sistema internacional (SI). Por ejemplo, olvidarse de pasar los grados a radianes al usar funciones trigonométricas en la calculadora.

Ejemplo:
– Usar \(\sin(40)\) directamente, cuando tu calculadora está en modo radianes en lugar de grados.
– Olvidar que la gravedad \(g\) es \(9.8 \, \text{m/s}^2\) y confundirla con valores redondeados como \(10 \, \text{m/s}^2\), lo que genera errores en los decimales.

¿Cómo evitarlo?
Antes de comenzar, verifica que tu calculadora esté en modo grados si el ángulo está en grados. Además, comprueba las unidades de las variables clave como la velocidad y la altura para asegurarte de trabajar siempre en metros, segundos y radianes.

 

2. Omitir Alguna Variable o Dato Clave


Olvidar que la altura inicial (\(y_0\)) es diferente de cero, especialmente cuando el problema no es un lanzamiento desde el suelo.

Ejemplo:
En este ejercicio, la ventana está a \(15 \, \text{m}\) de altura. Si no consideras esto al calcular el desplazamiento vertical, podrías obtener un resultado erróneo.

¿Cómo evitarlo?
Haz una lista clara de los datos iniciales. Pregúntate:
– ¿Desde qué punto se lanza el objeto?
– ¿Qué valores son cero y cuáles no?

Esto te ayudará a visualizar mejor la situación y a no perder variables importantes en el camino.

3. Usar la Fórmula Equivocada o Restar en Lugar de Sumar


Aplicar mal las ecuaciones de cinemática, especialmente al confundir la fórmula del desplazamiento vertical con la de la velocidad. También es común restar donde se debe sumar.

Ejemplo:
Olvidar el signo negativo de la gravedad al usar la ecuación del desplazamiento:
\[
y = y_0 + v_{0y}t – \frac{1}{2} g t^2
\]
Si sumas en lugar de restar el término \(\frac{1}{2} g t^2\), obtendrás resultados absurdos, como que el chorro de agua sigue subiendo indefinidamente.

¿Cómo evitarlo?
Revisa siempre la dirección de los vectores:
– La gravedad apunta hacia abajo (\(-g\)).
– Si el objeto sube, la componente \(v_{0y}\) es positiva; si baja, es negativa.

4. No Descomponer la Velocidad Inicial en Componentes

Error típico:
Usar la velocidad inicial completa \(v_0\) sin descomponerla en componentes \(v_{0x}\) y \(v_{0y}\).

Ejemplo:
Intentar calcular la distancia horizontal usando:
\[
x = v_0 \cdot t
\]
cuando deberías usar:
\[
x = v_{0x} \cdot t
\]

¿Cómo evitarlo?
Recuerda siempre que el movimiento horizontal y el vertical son independientes. Descompón la velocidad inicial en:
– Componente horizontal: \(v_{0x} = v_0 \cos(\theta)\).
– Componente vertical: \(v_{0y} = v_0 \sin(\theta)\).

«La clave del tiro parabólico es entender que es un baile en dos dimensiones. ¡No olvides separar los pasos!»

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