Un piloto de pruebas, conocido como "El Águila", está volando un avión experimental sobre una llanura extensa. Su misión es atravesar una distancia de 400 km en línea recta hacia el norte.
El piloto debe ajustar el rumbo de su avión para llegar exactamente a su destino, enfrentando el desafío del viento cruzado.
a) ¿En qué dirección debe apuntar el avión para llegar al norte sin desviarse?
b) ¿Cuál será la velocidad del avión respecto al suelo?
c) ¿Cuánto tiempo tardará en completar el vuelo de 400 km?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Este es un problema de composición de movimientos, donde un avión intenta avanzar hacia su destino enfrentando una corriente de viento lateral constante. Usaremos la descomposición vectorial de velocidades para analizar cómo la dirección y magnitud del viento afectan el trayecto del avión, determinando si podrá compensar su trayectoria para llegar al objetivo. ¡Manos a la física! ✈️
📝 Solución paso a paso
1. Determinando la Dirección del Avión
El objetivo es que el avión llegue directamente al norte, es decir, que su trayectoria no se desvíe hacia el Este debido al viento. Para lograrlo, la componente este (\( v_x \)) de la velocidad del avión debe anular exactamente la velocidad del viento (\( v_{\text{viento}} \)).
Esto es posible gracias al principio de independencia de movimientos, que permite descomponer la velocidad del avión en dos componentes perpendiculares:
– \( v_x \): Hacia el este (misma dirección que el viento).
– \( v_y \): Hacia el norte (la dirección deseada del movimiento).
Para contrarrestar la velocidad del viento, planteamos que:
\[
v_x = v_{\text{viento}}
\]
Esto asegura que el efecto del viento sea completamente cancelado, y el avión pueda avanzar solo hacia el norte con la componente \( v_y \).
Sabemos que:
\[
v_x = 60 \, \text{km/h}
\]
La velocidad total del avión relativa al aire es \( v_{\text{avión}} = 300 \, \text{km/h} \), así que usamos el teorema de Pitágoras para encontrar \( v_y \), la componente vertical que queda para avanzar hacia el norte:
\[
v_y = \sqrt{v_{\text{avión}}^2 – v_x^2}
\]
La hipotenusa es \( v_{\text{avión}} \), y los catetos son \( v_x \) y \( v_y \).
Sustituyendo los valores:
\[
v_y = \sqrt{(300)^2 – (60)^2} = \sqrt{90000 – 3600} = \sqrt{86400} \approx 293.8 \, \text{km/h}
\]
2. Calculando el Ángulo de Dirección
Para que el avión siga esta trayectoria precisa, debe orientarse hacia un ángulo específico \( \theta \), de manera que su componente \( v_x \) sea exactamente igual a la velocidad del viento (\( 60 \, \text{km/h} \)).
Usamos la función tangente para calcular este ángulo, ya que relaciona \( v_x \) y \( v_y \):
\[
\theta = \arctan\left(\frac{v_x}{v_y}\right)
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{60}{293.8}\right) \approx \arctan(0.204) \approx 11.5^\circ
\]
El avión debe apuntar hacia el oeste del norte con un ángulo de \( 11.5^\circ \).
¿Por qué este ángulo es importante?
Porque al orientar el avión en esta dirección, la componente horizontal (\( v_x \)) de su velocidad compensa la del viento, permitiendo que el avión avance únicamente hacia el norte.
3. Velocidad del Avión Respecto al Suelo
La velocidad del avión respecto al suelo (\( v_{\text{suelo}} \)) será igual a su componente vertical \( v_y \), ya que la componente horizontal (\( v_x \)) se cancela con la del viento. Esto se debe a que estamos evaluando la velocidad desde un sistema de referencia externo (la Tierra).
Entonces:
\[
v_{\text{suelo}} = v_y \approx 293.8 \, \text{km/h}
\]
Esto significa que, aunque el avión viaja a \( 300 \, \text{km/h} \) respecto al aire, su velocidad efectiva hacia el norte es ligeramente menor debido al desvío para contrarrestar el viento.
4. Tiempo para Completar el Vuelo
Para calcular el tiempo necesario para recorrer \( 400 \, \text{km} \) hacia el norte, usamos la fórmula básica de cinemática:
\[
t = \frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}}
\]
Sustituyendo:
\[
t = \frac{400}{293.8} \approx 1.36 \, \text{horas} \, (\text{o } 81.6 \, \text{minutos})
\]
El tiempo necesario para completar el vuelo es aproximadamente \( 1.36 \, \text{horas} \).
🚀 Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?
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Ahora, el avión intenta avanzar hacia el norte, pero el viento es de 100 km/h soplará de costado (dirección x+), desviándolo de su trayectoria inicial. Queremos calcular:
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
La velocidad efectiva hacia el norte. El ángulo de desviación respecto al norte. El tiempo que tardará en recorrer los 400 km hacia el norte.
1. Cálculo de la Velocidad Efectiva hacia el Norte
El avión tiene una velocidad total relativa al aire de \(v_{\text{avión}} = 300 \, \text{km/h}\). Para que avance hacia el norte, debemos encontrar la componente de su velocidad que apunta en esa dirección (\(v_y\)).
El viento de costado genera una componente horizontal (\(v_x\)) de \(v_{\text{viento}} = 100 \, \text{km/h}\), que no afecta directamente el movimiento hacia el norte pero sí contribuye a la velocidad total.
Como las componentes \(v_x\) y \(v_y\) son perpendiculares, usamos el teorema de Pitágoras para encontrar \(v_y\):
\[
v_y = \sqrt{v_{\text{avión}}^2 – v_x^2}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
v_y = \sqrt{(300)^2 – (100)^2} = \sqrt{90000 – 10000} = \sqrt{80000} \approx 282.8 \, \text{km/h}
\]
El avión tiene una velocidad efectiva hacia el norte de \(282.8 \, \text{km/h}\).
2. Cálculo del Ángulo de Desviación
El ángulo de desviación (\(\theta\)) nos indica cuánto se inclina la trayectoria del avión respecto al norte debido al viento. Para calcularlo, usamos la relación trigonométrica de la tangente:
\[
\tan \theta = \frac{v_x}{v_y}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
\tan \theta = \frac{100}{282.8} \approx 0.354
\]
Tomamos el arctan para obtener el ángulo:
\[
\theta = \arctan(0.354) \approx 19.5^\circ
\]
El avión se desviará 19.5° hacia el este respecto a la dirección norte.
3. Cálculo del Tiempo para Recorrer 400 km Hacia el Norte
El tiempo necesario para alcanzar su destino al norte depende únicamente de la componente vertical de la velocidad (\(v_y\)):
\[
t = \frac{\text{distancia}}{\text{velocidad}}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
t = \frac{400}{282.8} \approx 1.41 \, \text{horas} \, (\text{o } 84.6 \, \text{minutos})
\]
El viento de costado afecta ligeramente el tiempo de vuelo e introduce un ángulo mayor de desviación.
Volvemos a la situación inicial, el avión vuela con una velocidad respecto al aire de 300 km/h.
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Qué pasaría si el avión se encuentra vientos de costado de mas de 350 km/h?
Si el viento sopla con una velocidad \(v_{\text{viento}} > 300 \, \text{km/h}\), el avión no puede avanzar hacia el norte. Veamos por qué:
1. Para avanzar hacia el norte, la componente horizontal del avión (\(v_x = v_{\text{viento}}\)) debe ser igual o mayor que la velocidad del viento. En este caso:
\[
v_{\text{avión}} = 300 \, \text{km/h} < v_{\text{viento}} = 350 \, \text{km/h}
\]
2. Esto significa que la corriente de aire sobrepasa la capacidad del avión para contrarrestarla, y toda su velocidad se ve arrastrada por el viento. Como resultado:
– El avión no puede avanzar hacia el norte.
– Terminará desplazándose completamente en la dirección del viento, sin lograr alcanzar su destino.
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