Estás a 39 kilómetros de altura sobre la Tierra, en la estratósfera, flotando en un globo gigantesco. La vista es impresionante, el horizonte parece curvarse y el silencio es absoluto.
Sin tener en cuenta la resistencia con el aire (de momento). Calcula los siguiente:
a) ¿Cuál será tu velocidad después de los primeros t=10s?
(b) ¿Qué distancia habrás recorrido durante este tiempo?
(c) ¿Cuánto tiempo tardarás en llegar al suelo si asumimos caída libre sin resistencia del aire...
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Este problema nos lleva directamente al borde del espacio, donde exploraremos la caída libre en su forma más extrema. Por supuesto, vamos a simplificar las cosas: ignoraremos la resistencia del aire (¡no te preocupes, lo veremos en el apartado de «¿Qué pasaría si…?»)
En el apartado final calculareos el tiempo para llegar al suelo; no tengas miedo, ¡es solo un problema teórico! Aquí no hay riesgo de aterrizajes forzosos ni accidentes. 🪂
¡Vamos a ello!
📝 Solución paso a paso
1. Velocidad después de los primeros \( 10 \, \text{s} \):
La fórmula de la velocidad para la caida libre es:
\[
v_y = v_{y0} + g \cdot t
\]
Sustituimos los valores. Recuerda que como te dejas caer del globo, la velocidad inicial es cero:
\[
v_y = 0 + (-9.8) \cdot 10 = -98 \, \text{m/s}
\]
Estarás cayendo a una velocidad de \( 98 \, \text{m/s} \) después de 10 segundos. El signo negativo indica que se mueve hacia abajo. ¡Eso es equivalente a 353 km/h! Una velocidad impresionante… ¡y esto es solo el principio!
2. Distancia recorrida en los primeros \( 10 \, \text{s} \):
La fórmula de la posición en en cualquier instante t:
\[
y = y_0 + v_{y0} \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]
Sustituyendo los valores:
\[
y = 39,000 + 0 \cdot 10 + \frac{1}{2} (-9.8) \cdot (10)^2
\]
\[
y = 39,000 – 0.5 \cdot 9.8 \cdot 100
\]
\[
y = 39,000 – 490 = 38,510 \, \text{m}
\]
Habrás descendido \( 490 \, \text{m} \) en los primeros 10 segundos, quedando a una altura de \( 38,510 \, \text{m} \). ¡Casi medio kilómetro en solo 10 segundos! 🌍
3. Tiempo total para llegar al suelo:
Ahora calculamos cuánto tiempo tardas en recorrer toda la distancia desde \( y_0 = 39,000 \, \text{m} \) hasta \( y = 0 \).
Usamos de nuevo la fórmula de la posición:
\[
y = y_0 + v_{y0} \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]
Sustituimos los valores:
\[
0 = 39,000 + 0 \cdot t + \frac{1}{2} (-9.8) \cdot t^2
\]
\[
0 = 39,000 – 4.9 \cdot t^2
\]
\[
t^2 = \frac{39,000}{4.9} \approx 7,959
\]
\[
t = \sqrt{7,959} \approx 89.2 \, \text{s}
\]
Tardarás aproximadamente \( 89.2 \, \text{s} \), o 1 minuto y 29 segundos, en alcanzar el suelo. ¡Todo un descenso épico a toda velocidad! 🌠
🚀 Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?
En el próximo apartado, exploraremos un dato increíble: ¿cuánto tiempo tarda Félix en romper la barrera del sonido? ¿Qué ocurre si consideramos la resistencia del aire? ¡Prepárate para un «Qué pasaría si…» que llevará tus cálculos a un nuevo nivel!
1. Félix Baumgartner no solo se lanzó desde la estratósfera, ¡también rompió la barrera del sonido! La velocidad del sonido a la altitud de la estratósfera es de aproximadamente 1225 km/h lo que lo convirtió en el primer ser humano en superar esta velocidad en caída libre.
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
¿Cuánto tiempo le llevó a Félix alcanzar esta velocidad?
Para calcular el tiempo que tardó Félix en alcanzar la velocidad del sonido (\( v_{\text{sonido}} = 1225 \, \text{km/h} \)), usaremos las ecuaciones de la cinemática, teniendo en cuenta las siguientes conversiones y datos iniciales:
Datos Iniciales:
– Velocidad inicial (\( v_{y0} \)): \( 0 \, \text{m/s} \) (parte desde el reposo).
– Aceleración de la gravedad (\( g \)): \( -9.8 \, \text{m/s}^2 \).
– Altura inicial (\( y_0 \)): \( 39,000 \, \text{m} \).
– Velocidad del sonido en unidades del S.I:
\[
v_{\text{sonido}} = 1225 \, \text{km/h} = \frac{1225 \cdot 1000}{3600} \approx 340 \, \text{m/s}
\]
Paso 1: Ecuación de la Velocidad
La velocidad en un movimiento uniformemente acelerado (MRUA) se calcula con:
\[
v_y = v_{y0} + g \cdot t
\]
Como \( v_{y0} = 0 \), la ecuación se simplifica a:
\[
v_y = g \cdot t
\]
Paso 2: Sustituir Valores
Queremos saber el tiempo (\( t \)) necesario para que Félix alcance \( v_y = -340 \, \text{m/s} \). Sustituyendo los valores:
\[
-340 = -9.8 \cdot t
\]
Resolviendo para \( t \):
\[
t = \frac{340}{9.8} \approx 34.7 \, \text{s}
\]
Félix tardó aproximadamente 34.7 segundos en alcanzar la velocidad del sonido durante su caída libre.
Es increíble cómo, en poco más de medio minuto, Félix no solo aceleró gracias a la gravedad, sino que también alcanzó una velocidad que rompe la barrera del sonido. Esto fue posible gracias a las condiciones únicas de su salto: una altura extrema y una atmósfera con menor resistencia al principio de su caída. ¿Qué pasaría si la atmósfera ofreciera mayor resistencia? Eso lo exploraremos en el próximo apartado de «Qué pasaría si…».
2. La Velocidad Terminal de Félix Baumgartner: Desentrañando el Misterio del Límite en la Caída Libre
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️ Intermedio (5 /10)
Sabemos que la resistencia al aire es proporcional al cuadrado de la velocidad (\( b v^2 \)). Si Félix Baumgartner tiene una masa aproximada de 80 kg y definimos una constante de arrastre \( b = 0.25 \, \text{kg/m} \), ¿cuál sería su velocidad límite durante la caída libre?
Cuando hablamos de velocidad terminal o límite, nos referimos a ese punto en el que un objeto en caída libre, las fuerzas de resistencia del aire se equilibran con la fuerza de gravedad. En el caso de Félix Baumgartner, calcular su velocidad terminal nos permite profundizar en la física del movimiento y entender cómo la naturaleza regula las caídas extremas.
Entendiendo las Fuerzas en Juego
Durante la caída libre, Félix experimenta dos fuerzas principales:
1. El peso (\( F_{\text{peso}} \)), debido a la gravedad:
\[
F_{\text{peso}} = m \cdot g
\]
Donde:
– \( m \): Masa de Félix .
– \( g \): Aceleración de la gravedad (\( 9.8 \, \text{m/s}^2 \)).
2. La fuerza de resistencia del aire (\( F_{\text{resistencia}} \)), que aumenta con el cuadrado de la velocidad. En el enunciado se define como:
\[
F_{\text{resistencia}} = b \cdot v^2
\]
– \( b \): Es el coeficiente de arrastre, que depende de la densidad del aire, la forma aerodinámica y el área proyectada del cuerpo. Para Félix, nos dicen que tomemos \( b = 0.25 \, \text{kg/m} \).
La Condición de Velocidad Terminal
En la velocidad terminal, ambas fuerzas se equilibran:
\[
F_{\text{peso}} = F_{\text{resistencia}}
\]
Sustituimos las expresiones de las fuerzas:
\[
m \cdot g = b \cdot v_t^2
\]
Despejamos \( v_t \) para obtener la velocidad límite:
\[
v_t = \sqrt{\frac{m \cdot g}{b}}
\]
Esta es la fórmula clave que nos permitirá calcular el límite máximo de la velocidad de Félix durante su caída.
Cálculo de la Velocidad Terminal
Sustituimos los valores:
– \( m = 80 \, \text{kg} \)
– \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)
– \( b = 0.25 \, \text{kg/m} \)
\[
v_t = \sqrt{\frac{80 \cdot 9.8}{0.25}}
\]
Primero resolvemos el numerador y el denominador:
\[
v_t = \sqrt{\frac{784}{0.25}} = \sqrt{3136}
\]
Finalmente, calculamos la raíz cuadrada:
\[
v_t \approx 56 \, \text{m/s}
\]
Es decir, la velocidad terminal de Félix Baumgartner sería de aproximadamente:
\[
v_t \approx 56 \, \text{m/s} \, \text{(o unos \( 201.6 \, \text{km/h} \))}
\]
Esto significa que, bajo las condiciones dadas (coeficiente de arrastre, gravedad y masa), Félix alcanzaría una velocidad constante alrededor de los \( 56 \, \text{m/s} \). Sin embargo, en su salto real, Félix superó con creces esta velocidad debido a que la densidad del aire en la estratósfera es muchísimo menor, lo que reduce significativamente \( b \).
La velocidad terminal es un recordatorio elegante de cómo la naturaleza pone límites a los movimientos. Sin la resistencia del aire, Félix caería sin freno, alcanzando velocidades inimaginables. Pero nuestra atmósfera, con su fricción, se asegura de que todo permanezca bajo control.
Esto nos lleva a reflexionar sobre algo aún más fascinante: si la fricción actúa durante mucho tiempo, ¿no debería generar calor? Piénsalo. Es exactamente lo que ocurre con las sondas espaciales cuando hacen su reentrada en la atmósfera terrestre y enfrentan un ardiente espectáculo. Pero no nos adelantemos… eso lo exploraremos en otro tema. 😉
Una Historia Real: El Salto que Desafió los Límites de la Física
El 14 de octubre de 2012, Félix Baumgartner realizó un salto histórico desde la estratósfera, lanzándose desde una altura de 39,000 metros y convirtiéndose en el primer ser humano en romper la barrera del sonido en caída libre.
Este impresionante evento no solo marcó un hito en la exploración humana, sino que también nos permitió observar cómo las leyes de la física actúan en condiciones extremas.
¿Te imaginas lanzarte al vacío desde el borde del espacio? En este video podrás revivir cada segundo de este salto increíble, desde la preparación hasta el emocionante momento en que Félix pisa tierra firme. 🌌🚀
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