Lanzamos una bola desde un punto situado a 20 m de altura sobre el suelo, con una velocidad inicial de 7,5 m/s y un ángulo de 30° por encima de la horizontal.

1. Movimiento en \(x\) (horizontal):

\[
\begin{cases}
a_x = 0,
\\[6pt]
v_x(t) = v_{0x} = \text{constante},
\\[6pt]
x(t) = x_0 + v_{0x}\,t = 0 + 6{,}50\,t.
\end{cases}
\]

2. Movimiento en \(y\) (vertical):

\[
\begin{cases}
a_y = -g = -9{,}8\,\text{m/s}^2,
\\[6pt]
v_y(t) = v_{0y} – g\,t = 3{,}75 – 9{,}8\,t,
\\[6pt]
y(t) = y_0 + v_{0y}\,t – \tfrac12\,g\,t^2 = 0 + 3{,}75\,t – 4{,}9\,t^2.
\end{cases}
\]
Recordemos que en este sistema de referencia, \(y=0\) en el punto de lanzamiento y el suelo se encuentra en \(y=-20\).

3. Hallar el tiempo en que la bola llega al suelo

Para encontrar dónde y cuándo impacta la bola en el suelo, necesitamos el instante \(t_f\) en que \(y(t_f) = -20\):

\[
-20
\;=\;
y(t_f)
\;=\;
3{,}75\,t_f \;-\; 4{,}9\,t_f^2.
\]

Reordenando:

\[
-4{,}9\,t_f^2 \;+\; 3{,}75\,t_f \;+\; 20 = 0.
\]

Esta es una ecuación cuadrática en \(t_f\). La escribimos como

\[
-4{,}9\,t_f^2 + 3{,}75\,t_f + 20 = 0.
\]

Identificamos \(a = -4{,}9\), \(b=3{,}75\), \(c=20\).
La fórmula general para \(ax^2 + bx + c = 0\) es:

\[
t_f
\;=\;
\frac{
-b \;\pm\; \sqrt{\,b^2 – 4\,a\,c\,}
}
{2\,a}.
\]

Calculemos paso a paso:

1. Discriminante:
\[
b^2 – 4ac
\;=\;
(3{,}75)^2
\;-\;
4\cdot(-4{,}9)\cdot 20.
\]
\[
(3{,}75)^2 = 14{,}0625,
\quad
-4\cdot(-4{,}9)\cdot 20 = +392,
\quad
\therefore
b^2 – 4ac = 14{,}0625 + 392 \;=\; 406{,}0625.
\]
\[
\sqrt{406{,}0625} \;\approx\; 20{,}156.
\]

2. Soluciones:
\[
t_f
\;=\;
\frac{
-3{,}75 \;\pm\; 20{,}156
}
{2\cdot(-4{,}9)}
\;=\;
\frac{
-3{,}75 \;\pm\; 20{,}156
}
{-9{,}8}.
\]
– Opción con el “\(+\)”:
\[
t_1
\;=\;
\frac{-3{,}75 + 20{,}156}{-9{,}8}
= \frac{16{,}406}{-9{,}8}
\approx -1{,}675\;\text{s} \quad\text{(no físico)}.
\]
– Opción con el “\(-\)”:
\[
t_2
\;=\;
\frac{-3{,}75 – 20{,}156}{-9{,}8}
= \frac{-23{,}906}{-9{,}8}
\approx 2{,}439\;\text{s}.
\]
El tiempo  es \(t_2 \approx 2{,}44\,\text{s}\).