Un atleta quiere batir el récord mundial de lanzamiento de peso establecido en 23 metros

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️⚛️ Avanzado (7/10)

A continuación presento una derivación paso a paso, desde los principios básicos de la cinemática con aceleración constante (sin rozamiento), de la fórmula del alcance en el tiro parabólico cuando el proyectil se lanza con:

– Velocidad inicial \(v_0\).
– Ángulo de lanzamiento \(\theta\) respecto de la horizontal.
– Altura inicial \(y_0\) (puede ser cero o no).

Veremos primero la obtención de la ecuación general del alcance (en función de \(\theta\)). Luego, mostraremos cómo se recupera la fórmula clásica del alcance máximo cuando \(y_0 = 0\) y por qué, si \(y_0\) es muy pequeña, podemos aproximar muy bien con la fórmula estándar.

1. Planteamiento de las ecuaciones de movimiento

En el tiro parabólico (sin resistencia del aire) el movimiento se descompone en dos ejes:

1. Eje horizontal \(x\):
– No hay aceleración en el eje horizontal (suponiendo ausencia de rozamiento con el aire).
– La velocidad horizontal permanece constante e igual a \(v_{0x} = v_0 \cos(\theta)\).
– Por tanto, la posición \(x(t)\) es
\[
x(t) \;=\; x_0 + v_{0x}\,t \;=\; 0 + (v_0 \cos\theta)\,t
\;=\; v_0 \cos(\theta)\,t,
\]
donde  tomamos \(x_0 = 0\) para simplificar.

2. Eje vertical \(y\):
– Hay aceleración constante \(-g\) (con signo negativo porque la gravedad apunta hacia abajo).
– La velocidad vertical inicial es \(v_{0y} = v_0 \sin(\theta)\).
– Partimos de una altura inicial \(y_0\).
– Entonces la posición \(y(t)\) viene dada por la ecuación (aceleración constante):
\[
y(t) \;=\; y_0 + v_{0y}\,t \;-\; \tfrac12\,g\,t^2
\;=\; y_0 + (v_0\sin\theta)\,t – \frac{1}{2}g\,t^2.
\]

Estas dos expresiones describen completamente la trayectoria del proyectil en función del tiempo \(t\):

\[
\begin{cases}
x(t) = v_0 \cos(\theta)\,t,\\[6pt]
y(t) = y_0 + v_0 \sin(\theta)\,t \;-\;\tfrac12\,g\,t^2.
\end{cases}
\]

2. Tiempo de vuelo hasta que el proyectil vuelve al suelo

Para hallar el alcance (distancia horizontal recorrida antes de “tocar suelo”), necesitamos el tiempo \(t_f\) en que el proyectil regresa al nivel del suelo, es decir,  \(y(t_f) = 0\) (o, más precisamente, el mismo nivel donde medimos \(y=0\)).

Entonces \(t_f\) se obtiene resolviendo la ecuación en \(t\):

\[
0 \;=\; y(t_f)
\;=\; y_0 \;+\; v_0\sin(\theta)\,t_f \;-\; \tfrac12\,g\,t_f^2.
\]

Esta es una ecuación cuadrática en \(t_f\). Reordenándola:

\[
-\tfrac12\,g\,t_f^2 \;+\; \bigl(v_0 \sin\theta\bigr)\,t_f \;+\; y_0 \;=\; 0.
\]

Escribamos la forma estándar:

\[
-\tfrac12 g\,t_f^2
\;+\; \bigl(v_0 \sin\theta\bigr)\,t_f
\;+\; y_0 = 0.
\]

Aplicando la fórmula general de la ecuación cuadrática \(ax^2 + bx + c = 0\), donde
\[
a = -\tfrac12\,g,
\quad b = v_0 \sin(\theta),
\quad c = y_0,
\]
tenemos:

\[
t_f \;=\; \frac{-b \,\pm\, \sqrt{\,b^2 \;-\;4\,a\,c\,}}{\,2a\,}.
\]

Sustituyendo \(a, b, c\):

\[
t_f
\;=\;
\frac{
-\bigl(v_0\sin\theta\bigr)
\,\pm\,
\sqrt{\,\bigl(v_0\sin\theta\bigr)^2
\;-\;4\,\bigl(-\tfrac12\,g\bigr)\,y_0}
}
{\,2\,\bigl(-\tfrac12\,g\bigr)}.
\]

Observemos que \(-4\,(-\tfrac12 g)\,y_0 = 2gy_0\). Por tanto, dentro de la raíz queda:

\[
(v_0 \sin\theta)^2 + 2\,g\,y_0.
\]

Y, además, el denominador \(2(-\tfrac12 g) = -g\). Cuidando signos, al final se obtiene el tiempo de vuelo positivo:

\[
t_f
\;=\;
\frac{
v_0 \,\sin(\theta)
\;+\;
\sqrt{\,\bigl(v_0\sin\theta\bigr)^2 + 2 g\,y_0\,}
}
{g}.
\]

> Nota: Se escoge el signo “\(+\)” delante de la raíz para garantizar que sea un tiempo positivo (la rama “\(-\)” daría un tiempo no físico en la mayoría de los casos).

3. Cálculo del alcance \(R(\theta)\)

El alcance se obtiene evaluando \(x(t_f)\) en el tiempo \(t_f\) anterior:

\[
R(\theta) \;=\; x\bigl(t_f\bigr)
\;=\; v_0 \cos(\theta)\;\bigl(t_f\bigr).
\]

Sustituyendo \( t_f \):

\[
R(\theta)
\;=\;
v_0 \cos(\theta)
\;
\frac{
v_0 \sin(\theta)
\;+\;
\sqrt{
\,\bigl(v_0\sin\theta\bigr)^2 \;+\; 2\,g\,y_0\,
}}
{g}.
\]

Podemos dejarlo factorizado como:

\[
\boxed{
R(\theta)
=
\frac{v_0}{g}\,\cos(\theta)
\;\Bigl[
v_0 \,\sin(\theta)
\;+\;
\sqrt{
\,v_0^2\sin^2(\theta)\;+\;2\,g\,y_0
}
\Bigr].
}
\]

Esta es la fórmula general del alcance en función del ángulo \(\theta\), válida para cualquier altura inicial \(y_0 \ge 0\) (o incluso \(y_0<0\), mientras se pueda usar el mismo nivel de referencia).

 5. Caso particular: \(y_0 = 0\)

Si la altura inicial es cero (\(y_0=0\)), la fórmula anterior se simplifica bastante. Observemos:

\[
\sqrt{\,v_0^2 \sin^2(\theta) + 2 g (0)\,}
\;=\;
\sqrt{\,v_0^2 \sin^2(\theta)\,}
\;=\;
v_0\,\bigl|\sin(\theta)\bigr|.
\]
(Generalmente suponemos \(\theta\) en el rango \(0 < \theta < \pi\), con \(\sin(\theta)>0\), así que \(|\sin\theta| = \sin\theta\).)

Por lo tanto,

\[
R(\theta)
\;=\;
\frac{v_0}{g}\,\cos(\theta)\;\Bigl[v_0 \sin(\theta) + v_0 \sin(\theta)\Bigr]
\;=\;
\frac{v_0}{g}\,\cos(\theta)\;\bigl(2\,v_0 \sin(\theta)\bigr).
\]

\[
R(\theta)
\;=\;
\frac{2\,v_0^2}{g}\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)
\;=\;
\frac{v_0^2}{g}\,\bigl[\,2\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)\bigr].
\]

Recordando la identidad trigonométrica \(\sin(2\theta) = 2\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)\), se llega a la fórmula clásica:

\[
\boxed{
R(\theta)
\;=\;
\frac{v_0^2}{g}\,\sin\bigl(2\,\theta\bigr),
\quad
\text{(para \(y_0=0\))}
}
\]

y es claro que el valor máximo de \(\sin(2\theta)\) es \(1\), luego \(2\theta = 90^\circ \implies \theta = 45^\circ\). Así se demuestra que cuando se lanza desde el suelo y se busca caer también al mismo nivel, el alcance máximo se logra con un ángulo de \(45^\circ\), y dicho alcance máximo es

\[
\boxed{
R_{\max}
\;=\;
\frac{v_0^2}{g}.
}
\]

 6. Aproximación cuando \(y_0\) es muy pequeño (pero no exactamente cero)

Como en este problema, cuando \(y_0\) es un valor positivo pero muy pequeño comparado con otras distancias del problema (por ejemplo, frente al propio alcance), se puede comprobar que la fórmula completa

\[
R(\theta)
=
\frac{v_0}{g}\,\cos(\theta)
\;\bigl[
v_0 \,\sin(\theta)
\;+\;
\sqrt{
\,v_0^2\sin^2(\theta)\;+\;2\,g\,y_0
}
\bigr]
\]

difiere poco de la fórmula para \(y_0=0\). De hecho, en muchos problemas prácticos (p.ej. lanzar una pelota desde la mano a poca distancia del suelo), la variación de la altura inicial es tan pequeña que su efecto en el alcance es mínimo y el error cometido al usar la fórmula

\[
R(\theta) \approx \frac{v_0^2}{g}\,\sin(2\theta)
\]

suele ser despreciable.

Por eso se afirma que, si \(y_0\) es muy pequeña, podemos usar la fórmula clásica de alcance máximo con muy buena aproximación y el ángulo cercano a \(45^\circ\) seguirá siendo casi óptimo.

Conclusión

1. Fórmula general del alcance en tiro parabólico (con altura inicial \(y_0\)):
\[
\displaystyle
R(\theta)
\;=\;
\frac{v_0}{g}\,\cos(\theta)
\;\bigl[
v_0 \,\sin(\theta)
\;+\;
\sqrt{\,v_0^2\sin^2(\theta)\;+\;2\,g\,y_0\,}
\bigr].
\]

2. Caso especial \(y_0=0\):
\[
R(\theta)
=
\frac{v_0^2}{g}\,\sin(2\theta),
\quad
R_{\max} = \frac{v_0^2}{g}, \quad \theta_{\max}=45^\circ.
\]

3. Aproximación cuando \(y_0\) es muy pequeño:
\[
R(\theta)
\;\approx\;
\frac{v_0^2}{g}\,\sin(2\theta),
\]

Espero que hayas disfrutado esta demostración tanto como yo. Aunque este tipo de demostraciones y situaciones suelen verse recién en la universidad, está muy bien que las vayas conociendo y analizando de antemano. Al final, la física es así: aproximaciones, simplificaciones, ¡pero resulta realmente divertida!