Era un día soleado en el instituto, y un alumno, decidido a ayudar a su compañera en apuros, tuvo una idea brillante (o eso pensaba).
Tu misión: Ayuda a nuestro intrépido alumno a calcular:
a) La velocidad exacta con la que debe lanzar el bocadillo para que aterrice justo en las manos de su compañera.
b) La velocidad final del bocadillo (módulo y dirección) en el instante en que lo atrapa.¿Será capaz de hacer el lanzamiento perfecto o terminará comprando otro bocadillo en la cafetería? ¡Todo depende de ti y de las leyes de la física!
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
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- Categorias: BACHILLERATO, Cinemática, Composición de movimientos, FÍSICA, Tiro Horizontal
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Introducción al Problema
Primero, visualicemos la situación. Nuestro intrépido estudiante lanza el bocadillo desde una altura de \( y_0 = 18 \, \text{m} \) y con una velocidad horizontal desconocida \( v_x \). Su compañera está de pie esperando a una distancia horizontal de \( x = 15 \, \text{m} \), y sus manos están a \( y = 0.75 \, \text{m} \) sobre el suelo.
La clave para resolver esto está en separar los movimientos horizontal (\( x \)) y vertical (\( y \)). Porque, como ya sabes, en el tiro horizontal ambos movimientos son independientes.
¿Independientes? Exacto. Esto significa que lo que pasa en el eje \( y \) no afecta lo que ocurre en el eje \( x \), y viceversa. Ahora, si esta idea te parece contraintuitiva, no te preocupes. Es normal que al principio suene un poco extraño, pero todo encaja cuando lo desglosas.
Si te ha quedado alguna duda (o simplemente quieres entenderlo a fondo y dominarlo como un pro), pásate por nuestra página de teoría o sigue con el ejercicio y lo entenderás a la perfección.
Solución paso a paso
Paso 1: Descomposición de las ecuaciones del movimiento
Como hemos explicado antes, el bocadillo combina dos movimientos independientes:
1. En el eje \( x \):
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU), donde la distancia horizontal depende de la velocidad constante (\( v_x \)) y el tiempo (\( t \)). La fórmula clave es:
\[
x = v_x \cdot t
\]
2. En el eje \( y \):
\[
y = y_0 + \frac{1}{2} (-g) t^2
\]
¿Por qué este signo? Recuerda que \( g \) es negativa, ya que actúa hacia abajo siempre. Sustituyendo \( g = -9.8 \, \text{m/s}^2 \), el signo menos pasa automáticamente:
\[
y = y_0 – \frac{1}{2} g t^2
\]
Nuestro plan maestro
Primero, descifraremos el tiempo (\( t \)), esa pieza clave que conecta ambos ejes. (Esto es super importante porque en estos problemas, y en los de cinemática en general, si sabemos el valor de \(t \) ya tenemos medio problema resuelto.
Una vez que tengamos \( t \), podemos encontrar la velocidad horizontal (\( v_x \)).
Paso 2: Calcular el tiempo de vuelo (\( t \))
Usamos la ecuación del eje vertical:
\[
y = y_0 – \frac{1}{2} g t^2
\]
Ahora reorganizamos para despejar \( t \):
\[
t^2 = \frac{2 (y_0 – y)}{g}
\]
\[
t = \sqrt{\frac{2 (y_0 – y)}{g}}
\]
Sustituimos los valores conocidos:
\[
t = \sqrt{\frac{2 (18 – 0.75)}{9.8}}
\]
\[
t = \sqrt{\frac{2 \cdot 17.25}{9.8}} = \sqrt{\frac{34.5}{9.8}} \approx \sqrt{3.52} \approx 1.88 \, \text{s}
\]
El tiempo de vuelo del bocadillo es 1.88 segundos. ¡Suficiente para que su compañera se prepare y atrape el almuerzo con estilo!
Paso 3: Calcular la velocidad horizontal (\( v_x \))
Ya sabemos el tiempo, pero queda lo mas importante y aquí no podemos fallar, porque un bocadillo en el suelo es un bocadillo perdido (y nadie quiere eso, ¿verdad?)
Ahora usamos la ecuación del eje horizontal para calcular la velocidad horizontal a la que debe lanzar el bocadillo. Como nos piden en el inciso (a):
\[
x = v_x \cdot t
\]
Despejamos \( v_x \):
\[
v_x = \frac{x}{t}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
v_x = \frac{15}{1.88} \approx 7.98 \, \text{m/s}
\]
El alumno debe lanzar el bocadillo con una velocidad horizontal de aproximadamente 7.98 m/s para que llegue justo a las manos de su compañera.
Paso 4: Apartado b) Velocidad final del bocadillo (módulo y dirección)
¡Cuidado! Nos están pidiendo la velocidad final con la que llega el bocadillo, y aquí hay un detalle importante: no solo llega con una velocidad horizontal (\( v_x \)) que ya calculamos, sino también con una velocidad vertical (\( v_y \)) que ganó durante su caída gracias a la acción de la gravedad.
Para calcular correctamente la velocidad final, debemos considerar tanto la velocidad en el eje \( x \) como la velocidad en el eje \( y \). Esto no es opcional: ambas son componentes esenciales del movimiento.
De hecho, este es un error muy común en los exámenes: olvidar una de las velocidades o no combinarlas correctamente. Pero no te preocupes, en la sección de errores frecuentes te explicamos en detalle cómo evitarlo. 😉
Ahora, manos a la obra. Calcularemos primero la velocidad en el eje \( y \), y luego, con la velocidad horizontal que ya conocemos, encontraremos el módulo y el ángulo de la velocidad final. ¡Vamos a ello!
Velocidad en el eje \( y \) justo antes del impacto
En el eje \( y \), usamos la fórmula del MRUA:
\[
v_y = g \cdot t
\]
Sabemos que:
– \( g = -9.8 \, \text{m/s}^2 \)
– \( t = 1.88 \, \text{s} \)
Sustituimos:
\[
v_y = -9.8 \cdot 1.88 = -18.42 \, \text{m/s}
\]
El bocadillo llega con una velocidad vertical hacia abajo de –18.42 m/s. Recuerda que el signo solo nos indica que la velocidad va hacia abajo.
Módulo de la velocidad final (\( v_f \))
Este paso es crucial. Aquí es donde se distingue si realmente has entendido el problema o si solo estás repitiendo fórmulas de memoria. Saber cómo interpretar cada componente de la velocidad (\( v_x \) y \( v_y \)) y combinarlos para obtener el módulo no es solo un cálculo; es una prueba de que comprendes cómo funciona el movimiento en dos dimensiones.
Para encontrar el módulo de la velocidad final, usamos Pitágoras, porque \( v_x \) y \( v_y \) son siempre, siempre, perpendiculares entre sí:
\[
v_f = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]
Sustituimos los valores:
\[
v_f = \sqrt{(7.98)^2 + (-18.42)^2}
\]
\[
v_f = \sqrt{63.68 + 339.22} = \sqrt{402.90} = 20.08 \, \text{m/s}
\]
El bocadillo llega a las manos con una velocidad final de 20.08 m/s. Un poco mas de 72 km/h . ¡Un misil comestible en toda regla!
Ángulo de impacto (\( \theta \))
Para calcular el ángulo de impacto respecto al suelo, usamos la tangente inversa o arctan:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)
\]
Sustituimos los valores:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{-18.42}{7.98}\right)
\]
\[
\theta = \arctan(2.31) = -66.8^\circ
\]
El bocadillo llega con un ángulo de –66.8° respecto al suelo, directo a las manos de su compañera. 🎯
Conclusión épica
El signo negativo en el ángulo (\(-66.8^\circ\)) indica que la dirección del bocadillo está por debajo de la horizontal, lo cual es completamente consistente con lo que esperamos en este problema.
Como el bocadillo está descendiendo mientras avanza horizontalmente, su velocidad final forma un ángulo con la horizontal hacia abajo. El signo menos no es más que una forma de representar esta inclinación hacia abajo respecto al eje horizontal . Es la confirmación matemática de que el movimiento tiene sentido físico.
Si nuestro alumno sigue estos cálculos, no solo alimentará a su compañera, sino que también ganará el título de maestro del tiro horizontal.
Una pausa para reflexionar: Los signos en cinemática, ¿qué opinas? 🧐
Los signos. Esos pequeños símbolos que parecen inofensivos, pero que en física pueden cambiarlo todo.
Porque, seamos sinceros, ¿cuántas veces has terminado con un resultado absurdo solo porque olvidaste un signo? Tranquilo, no estás solo. Es algo tan común que hasta los mejores se tropiezan con ello.
Aquí en AulaCiencia, tenemos nuestro método, y te lo voy a contar. La gravedad (\( g \)) siempre es negativa. Siempre. Esto no es negociable. ¿Por qué? Porque actúa hacia abajo, y nosotros hemos decidido que hacia arriba es positivo. Es como nuestra brújula: mientras sigamos este método, siempre sabremos hacia dónde apunta el movimiento
Y ahora viene lo interesante: todas nuestras fórmulas las presentamos en su forma positiva. Así, cuando sustituyes los valores, el propio signo te dice qué está pasando y en qué dirección ocurre el movimiento. Es como si las matemáticas hablaran con la naturaleza y te susurraran:
«Eh, la velocidad vertical es negativa porque el objeto está cayendo, ¿te das cuenta?»
Es genial, ¿verdad? Los signos no solo son números con un «+» o «-«. Son historias. Te están contando si algo sube, baja, acelera o frena. Y lo mejor de todo: no tienes que memorizar mil reglas ni hacer malabares. Solo sigues las fórmulas, y los signos hacen su magia.
Pero no todos los profesores piensan igual. Cada uno tiene su método. Algunos deciden que \( g \) puede ser positiva, otros prefieren cambiar de sistema de referencia según el problema… Y al final, puede ser un lío. Pero no es cuestión de quién tiene la razón. Lo importante es que seas coherente.
Así que ahora me pregunto: ¿Qué opinas de esto? ¿ tu profe qué enfoque tiene?, ¿Te parece útil este enfoque que usamos aquí? ¿Prefieres otro método? ¿O te ha pasado alguna vez que un signo te arruine todo y te preguntes en qué momento el universo empezó a conspirar contra ti?
Déjame tu opinión.
Si quieres saber mas sobre el covenio de signos de Aulaciencia, puedes ver que hablamos de este tema en la parte de caida libre y tiro vertical.
Caza el fallo: Serás capaz de encontrar el error en este ejercicio?
Marcos, entusiasmado por probar sus habilidades de cálculo, decide lanzar un balón de fútbol desde una colina a 10 metros de altura (\( y_0 = 10 \, \text{m} \)) hacia una portería que está a 25 metros de distancia horizontal (\( x = 25 \, \text{m} \)). Marcos lanza el balón horizontalmente con una velocidad inicial de 18 m/s.
Tu misión: Determina si el balón logra alcanzar la portería antes de tocar el suelo.
Datos del problema:
– Altura inicial: \( y_0 = 10 \, \text{m} \).
– Distancia horizontal: \( x = 25 \, \text{m} \).
– Velocidad inicial: \( v_x = 18 \, \text{m/s} \).
– Gravedad: \( g = – 9.8 \, \text{m/s}^2 \).
1. Calcular el tiempo que tarda el balón en caer al suelo (\( t \)):
Usamos la ecuación del movimiento vertical:
\[
y = y_0 – \frac{1}{2} g t^2
\]
Reorganizamos para despejar \( t \). También hemos cancelado los signos negativos:
\[
t = \sqrt{\frac{2 y_0}{g}}
\]
Sustituimos los valores:
\[
t = \sqrt{\frac{2 \cdot 10}{9.8}} = \sqrt{\frac{20}{9.8}} \approx 1.96 \, \text{s}
\]
2. Calcular la distancia horizontal recorrida (\( x \)):
Usamos la ecuación del movimiento horizontal:
\[
x = v_x \cdot t
\]
Sustituimos los valores:
\[
x = 18 \cdot 1.96 \approx 35.28 \, \text{m}
\]
Conclusión:
El balón alcanza la portería, y con creces, porque con ese pelotazo yo diría que hasta ha roto la red. ¿Pero estamos completamente seguros de eso? Este problema tiene un fallo oculto… ¿ya lo has encontrado?
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