Alcance y Persecución en MRU: El Ciclista Justiciero

Una tarde tranquila en el parque, un ladrón decide robar una bicicleta y escapa pedaleando a 20 km/h

Lo que no esperaba es que un ciclista cercano, testigo del robo, saldría en su persecución tres minutos más tarde, con una velocidad de 22 km/h. Ahora, la pregunta es clara:

¿Cuánto tiempo necesitará el ciclista para alcanzar al ladrón?

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)

CLÁSICO

Introducción al Problema

Este es un clásico ejercicio de alcance y persecución en Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), donde dos móviles avanzan en la misma dirección pero a diferentes velocidades. La clave aquí es determinar el tiempo que el ciclista tardará en alcanzar al ladrón, teniendo en cuenta que este tuvo una ventaja inicial de tres minutos.

Lo resolveremos desglosando el problema en pasos sencillos, utilizando las ecuaciones básicas del MRU y considerando que ambos se mueven en línea recta y a velocidad constante, claro. 

¿Listo para atrapar al ladrón? ¡Vamos a resolverlo!

Solución paso a paso

1. Definiendo un sistema de coordenadas y punto de referencia

Elegiremos un sistema de coordenadas en línea recta donde el punto inicial del ladrón será el origen (\(x = 0\)). Esto facilita los cálculos porque las posiciones de ambos (ladrón y ciclista) se medirán desde este mismo punto. Usar un sistema común de referencia es fundamental para comparar las distancias de ambos y determinar cuándo se encuentran.

2. Entendiendo el tiempo:

El ladrón tiene una ventaja de 3 minutos (\(180 \, \text{s}\)) antes de que el ciclista comience la persecución. Esto significa que, cuando el ciclista empieza a moverse, el ladrón ya ha recorrido una cierta distancia. Si definimos \(t\) como el tiempo total desde que el ladrón comenzó a huir, entonces el tiempo que lleva pedaleando el ciclista será \(t – 180\). Esta resta nos ajusta al momento en que el ciclista realmente comenzó a moverse.

3. Resolviendo el problema

Sabemos que ambos móviles avanzan en la misma dirección, y que sus posiciones se igualarán cuando el ciclista alcance al ladrón. La posición en MRU se calcula como:

\[
x = v \times t
\]

– Posición del ladrón (\(x_{\text{ladrón}}\)):
\[
x_{\text{ladrón}} = v_{\text{ladrón}} \times t
\]
Con \(v_{\text{ladrón}} = 20 \, \text{km/h} = 5.56 \, \text{m/s}\).

– Posición del ciclista (\(x_{\text{ciclista}}\)):
\[
x_{\text{ciclista}} = v_{\text{ciclista}} \times (t – 180)
\]
Con \(v_{\text{ciclista}} = 22 \, \text{km/h} = 6.11 \, \text{m/s}\).

Cuando el ciclista alcanza al ladrón:
\[
x_{\text{ladrón}} = x_{\text{ciclista}}
\]

Sustituyendo las expresiones:
\[
v_{\text{ladrón}} \times t = v_{\text{ciclista}} \times (t – 180)
\]

Sustituimos los valores de las velocidades:
\[
5.56 \, t = 6.11 \, (t – 180)
\]

Expandimos y resolvemos:
\[
5.56 \, t = 6.11 \, t – 6.11 \, \times 180
\]

\[
5.56 \, t – 6.11 \, t = -6.11 \, \times 180
\]

\[
-0.55 \, t = -1099.8
\]

Despejamos \(t\):
\[
t = \frac{-1099.8}{-0.55} = 1999.6 \, \text{s}
\]

4. Interpretando el resultado

El tiempo total (\(t\)) es desde que el ladrón comenzó a huir, pero cuidado, en el problema nos preguntan cuánto tiempo tarda el ciclista en alcanzar al ladrón. Asi que tenemos que restar los \(180 \, \text{s}\)  de retraso desde que empezó a perseguir al ladrón. Ojo con esto:

\[
t_{\text{ciclista}} = t – 180 = 1999.6 \, \text{s} – 180 \, \text{s} = 1819.6 \, \text{s}
\]

Convertimos a minutos:
\[
t_{\text{ciclista}} = \frac{1819.6}{60} \approx 30.3 \, \text{min}
\]

Resultado Final

El ciclista tarda aproximadamente 30.3 minutos en alcanzar al ladrón.

Cómo Resolver Problemas de Alcance y Persecución en MRU

Resolver este tipo de problemas puede parecer complicado, pero todo se simplifica si seguimos algunos pasos clave. Aquí te explicamos cómo abordar situaciones como estas, asegurándonos de que comprendas cada detalle. ¡Vamos allá! 🚴‍♂️💨

1. Define un origen de referencia

Todo comienza con un buen sistema de referencia. Elige un origen desde el cual medir las posiciones y los tiempos. Este punto puede ser el lugar donde uno de los móviles comienza su movimiento, o cualquier punto fijo en el camino. Lo importante es que todas las posiciones y distancias se midan con respecto a este origen.

Por ejemplo:
– En nuestro problema, el origen es el punto donde el ladrón comienza su huida. Así, las posiciones de ambos móviles (ladrón y ciclista) se miden desde allí.

Esto asegura que las ecuaciones de posición tengan coherencia y puedan compararse directamente.

2. Igualar las posiciones para encontrar el tiempo de encuentro

El corazón del problema está en este concepto: los móviles se encuentran cuando sus posiciones son iguales. Esto significa que las distancias recorridas por ambos, medidas desde el origen, serán las mismas en ese momento. La clave es plantear las ecuaciones de posición y luego igualarlas:

\[
x_{\text{móvil 1}} = x_{\text{móvil 2}}
\]

De esta forma, podrás encontrar el tiempo de encuentro (\(t\)) o cualquier otra incógnita que te pidan.

3. Signos de las velocidades: clave para la coherencia

El sentido del movimiento es crucial al trabajar con Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). Para que las ecuaciones tengan sentido, debes asignar signos a las velocidades dependiendo de la dirección de cada móvil:

– Si ambos móviles van en el mismo sentido (como el ladrón y el ciclista):
Las velocidades de ambos son positivas, ya que se mueven en la misma dirección.

– Si los móviles se mueven al encuentro en direcciones opuestas:
Uno de ellos tendrá velocidad negativa, normalmente aquel que se mueve hacia la izquierda en el sistema de referencia. Esto asegura que las ecuaciones reflejen correctamente el acercamiento entre ambos.

Por ejemplo, si un tren avanza a \(v_1 = 10 \, \text{m/s}\) hacia la derecha y otro viene hacia él desde la izquierda a \(v_2 = -8 \, \text{m/s}\), la ecuación debe incluir el signo negativo de \(v_2\) para que sea consistente.

4. ¿Qué pasa si no salen al mismo tiempo?

Si uno de los móviles comienza su movimiento más tarde, como en el problema del ladrón y el ciclista, el tiempo para ese móvil debe ajustarse. Esto se hace restando el tiempo de ventaja que tuvo el otro móvil.

Por ejemplo:
– Si el ladrón empieza a moverse en \(t = 0\) pero el ciclista comienza \(3 \, \text{min}\) (\(180 \, \text{s}\)) más tarde, el tiempo del ciclista será:
\[
t_{\text{ciclista}} = t – 180
\]

Esta resta ajusta la ecuación de posición del ciclista al momento en que realmente comienza su movimiento.

5. ¿Y si ambos salen al mismo tiempo pero uno tiene una ventaja inicial?

En este caso, el tiempo es el mismo para ambos (\(t\)), pero uno de los móviles empieza más adelante, con una posición inicial (\(x_0\)). La ecuación de posición para ese móvil será:

\[
x = x_0 + v \cdot t
\]

Por ejemplo:
– Si un coche comienza \(50 \, \text{m}\) por delante de otro y ambos parten al mismo tiempo, su posición será:
\[
x_{\text{coche 1}} = 50 + v_1 \cdot t
\]

Mientras que el otro coche tendrá simplemente:
\[
x_{\text{coche 2}} = v_2 \cdot t
\]

Para encontrar el tiempo de encuentro, igualamos las dos posiciones.

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  • Conceptos clave: Como la importancia de un sistema de referencia, el uso correcto de signos en las velocidades y cómo manejar tiempos de ventaja o posiciones iniciales.
  • Consejos para evitar errores comunes: Porque hasta los mejores se equivocan, y queremos que tú aprendas de esos tropiezos.

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Resolver este ejercicio de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) es solo el primer paso. Ahora es el momento de profundizar, fortalecer tus conocimientos y enfrentarte a nuevos desafíos. ¡Aquí tienes todo lo que necesitas para continuar aprendiendo y mejorar aún más!

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