Imagina que, con papel y boli en mano —y tal vez una taza de café humeante a un lado—, te propones descifrar un pequeño enigma matemático. Nada demasiado complejo, una de esas ecuaciones que a primera vista no prometen mucho, pero que, si las abordas con curiosidad, pueden guardarte una sorpresa de las buenas. Hoy te traigo uno de esos momentos deliciosos en los que las matemáticas nos muestran su lado más artístico y curioso.
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La ecuación es la siguiente: \[ 1 + 10^x = 100^x. \]
La viste en un video (quizá en uno de esos que comparten divulgadores científicos y matemáticos de primer nivel como Gaussianos o Clara Grima, a quienes sigo desde hace un tiempo en redes como Bluesky….y tu también deberías hacerlo), o tal vez te la comentaron en clase, y piensas: “Vale, ¿y ahora qué?”.
A primera vista, podrías sentirte un poco intimidado. Pero ¡tranquilidad! Vamos a desmenuzarla paso a paso. Nuestro objetivo será resolverla con calma, como si estuviéramos garabateando en un cuaderno, sin prisas y con una gran sonrisa.
El Punto de Partida
Mira la ecuación:
\[
1 + 10^x = 100^x.
\]
Aquí, \(100^x\) se puede reescribir de una forma que puede simplificarnos la vida. Recuerda que \(100 = 10^2\). Por tanto:
\[
100^x = (10^2)^x = (10^x)^2.
\]
Reemplazando en la ecuación original:
\[
1 + 10^x = (10^x)^2.
\]
Un Cambio de Variable Liberador
A veces, las ecuaciones exponenciales se vuelven más amables si las convertimos en algo más reconocible. Definamos \(y = 10^x\). Entonces:
\[
1 + y = y^2.
\]
Esto ya no es una ecuación exponencial, es una ecuación cuadrática. Y las cuadráticas son como viejas conocidas, cómodas y accesibles, como ese jersey calentito al fondo del armario. Solo tenemos que reordenarla:
\[
y^2 – y – 1 = 0.
\]
La Ecuación Cuadrática Que Todos Conocemos
Para resolver \(y^2 – y – 1 = 0\), utilizamos la fórmula mágica (fórmula general de las ecuaciones cuadráticas, tampoco es tan mágica despues de todo):
\[
y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)}.
\]
Con cuidado:
– \(a = 1\)
– \(b = -1\)
– \(c = -1\)
Entonces:
\[
y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
\]
Esto, si llevas tiempo rondando el mundo de las matemáticas, te provoca una pequeña sonrisilla cómplice. El número \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) es nada más y nada menos que el número áureo, \(\phi \approx 1.618…\).
¡Qué maravilla! Hemos pasado de una ecuación que parecía “sin encanto” a toparte con \(\phi\), uno de los números más icónicos y bellos de la historia de las matemáticas, presente en el arte, la arquitectura, la naturaleza…
Claro, también existe la solución \( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \), pero esa es negativa y, como \(y = 10^x\) siempre es positivo (puesto que \(10^x > 0\) para cualquier real \(x\)), descartamos la negativa.
Así que nos quedamos con:
\[
y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi.
\]
Volviendo a \(x\)
Recuerda que \(y = 10^x\). Por tanto:
\[
10^x = \phi.
\]
Tomando logaritmo base 10 en ambos lados:
\[
x = \log_{10}(\phi).
\]
¡Listo! La solución de nuestra ecuación es:
\[
x = \log_{10}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right).
\]
Así, la ecuación \(1 + 10^x = 100^x\) no solo tiene solución, sino que esta solución conecta con uno de los números más fascinantes que existen: el número áureo.
El número Áureo. Por qué es tan importante y nos fascina?
ϕ\phi es ese tipo de número que, pese a ser un simple cociente entre dos cantidades, ha fascinado a pensadores durante siglos. Pero, ¿qué lo hace tan especial?
Autoproporción:
Una de sus propiedades más llamativas es la forma en que ϕ\phi se “refleja” en sí mismo. El número áureo cumple la relación:ϕ=1+1ϕ.\phi = 1 + \frac{1}{\phi}.
Esta ecuación, que se podría considerar como una “autodefinición”, le otorga un halo casi mágico. Es decir, ϕ\phi se puede expresar en términos de sí mismo, algo poco común en otros números.
La sucesión de Fibonacci:
ϕ\phi está vinculado estrechamente con la sucesión de Fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …). A medida que avanzas en la sucesión, el cociente entre términos consecutivos se acerca cada vez más a ϕ\phi. Es como si la propia naturaleza de los números tendiera a converger hacia él.Geometría y razón áurea:
En geometría, el número áureo aparece en figuras como el pentágono regular, donde las diagonales se cortan entre sí siguiendo esta razón. También surge en la construcción del rectángulo áureo, que se considera estéticamente atractivo desde tiempos antiguos.Estética y Arte:
A lo largo de la historia, se ha asociado ϕ\phi con la belleza y la armonía. Muchos afirman que la Mona Lisa, las proporciones del Partenón o ciertas composiciones musicales lo reflejan, aunque esto a veces roza el mito. Aun así, la idea de que ϕ\phi esté ligado a lo “perfecto” ha calado fuerte en el imaginario colectivo.Naturaleza y Biología:
Curiosamente, ϕ\phi asoma en algunos patrones naturales: la disposición de las semillas en un girasol, las espirales en las piñas, la forma en que las hojas de ciertas plantas brotan alrededor de su tallo. Estos patrones no son exactos a la milésima, pero la aproximación es suficiente para hacernos creer que la naturaleza coquetea con el número áureo.
Conclusiones
A veces, el vídeo más corto o el tuit más ingenioso pueden inspirar a sentarte con calma y papel en mano. Y aquí estamos, tú y yo, resolviendo un pequeño enigma que, en apariencia, no prometía gran cosa, pero que al final nos ha guiado a la belleza del número áureo.
Este es uno de esos momentos en los que las matemáticas te guiñan el ojo y te dicen: “¿Ves? El mundo está lleno de conexiones sorprendentes. Coge el lápiz, el cuaderno, y sigue explorando.” Porque, como dicen, en papel se entiende todo mejor: el proceso, el razonamiento, el pequeño “¡ajá!” que sientes al desvelar el misterio.
Y ahora, siéntete libre de compartir esta pequeña gran anécdota con quien quieras. Al final, lo bonito de las matemáticas es que tienen esta capacidad de asombrarnos y regalarnos sonrisas con un puñado de símbolos y un poco de imaginación.
Referencias y Bibliografía
- Publicación que me inspiró de Gaussianos en Bluesky para escribir este artículo.
- Sigue a Clara Grima y Gaussianos en Bluesky
- El número Aúreo – Wikipedia
- Sucesión de Fibonacci – Wikipedia
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