En la sabana australiana, el evento más esperado del año está en pleno apogeo: El Gran Concurso de Saltos de Canguros. Joey, un joven canguro con grandes sueños, está a punto de dar su salto más importante.
Joey se pregunta:
1. ¿Logrará pasar por encima del arbusto?
2. Si lo consigue, ¿cuál será la altura máxima de su salto?
3. ¿Dónde aterrizará finalmente?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Antes de saltar a los números (literalmente), desglosaremos el problema en pasos lógicos:
1. Descomponer la velocidad inicial en sus componentes horizontal y vertical. Esto nos dirá cómo se mueve Joey en cada dirección.
2. Usar la posición horizontal para calcular el tiempo que tarda en llegar al arbusto.
3. Evaluar la altura de Joey en ese momento para ver si pasa por encima del obstáculo.
4. Determinar la altura máxima que alcanza Joey durante su salto.
5. Finalmente, calcular dónde aterriza después de completar su salto parabólico.
¡Vamos paso a paso, canguro matemático!
Solución paso a paso
1. Descomponer la velocidad inicial
El salto de Joey sigue un movimiento parabólico, así que su velocidad inicial \( v_0 \) debe descomponerse en dos componentes:
1. La velocidad horizontal (\( v_{0x} \)), que controla cómo avanza en el eje \( x \).
2. La velocidad vertical (\( v_{0y} \)), que define cómo sube y baja en el eje \( y \).
Las ecuaciones son las siguientes:
\[
v_{0x} = v_0 \cos \theta, \quad v_{0y} = v_0 \sin \theta.
\]
Sabemos que \( v_0 = 12 \ \text{m/s} \) y \( \theta = 60^\circ \). Usamos los valores de los senos y cosenos de \( 60^\circ \):
\[
\cos 60^\circ = 0,5, \quad \sin 60^\circ = 0,866.
\]
\[
v_{0x} = 12 \cdot 0,5 = 6 \ \text{m/s},
\]
\[
v_{0y} = 12 \cdot 0,866 = 10,392 \ \text{m/s}.
\]
👉 Explicación: La velocidad horizontal de Joey es \( 6 \ \text{m/s} \), constante durante todo el salto, mientras que su velocidad vertical inicial es \( 10,392 \ \text{m/s} \), que irá disminuyendo a medida que la gravedad tire de él hacia abajo.
2. Calcular el tiempo para llegar al arbusto
El siguiente paso es determinar cuánto tiempo tarda Joey en alcanzar el arbusto, situado a 5 metros de distancia horizontal. Para esto, usamos la ecuación del movimiento en el eje \( x \):
\[
x = v_{0x} t.
\]
Sustituimos los valores conocidos (\( x = 5 \ \text{m} \), \( v_{0x} = 6 \ \text{m/s} \)):
\[
t = \frac{x}{v_{0x}} = \frac{5}{6} \approx 0,833 \ \text{s}.
\]
Ahora, veamos si en ese momento su altura es suficiente para superar los 2 metros del obstáculo.
3. Evaluar la altura al llegar al arbusto
Para encontrar la altura de Joey cuando está a 5 metros, usamos la ecuación del movimiento vertical:
\[
y = v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2,
\]
\( g = 9,8 \ \text{m/s}^2 \). Sustituimos los valores conocidos (\( v_{0y} = 10,392 \), \( t = 0,833 \)):
1. Calculamos el primer término (\( v_{0y} t \)):
\[
v_{0y} t = 10,392 \cdot 0,833 = 8,649 \ \text{m}.
\]
2. Calculamos el segundo término (\( \frac{1}{2} g t^2 \)):
\[
t^2 = (0,833)^2 = 0,694,
\]
\[
\frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot 0,694 = 3,401 \ \text{m}.
\]
3. Sustituimos en la ecuación de \( y \):
\[
y = 8,649 – 3,401 = 5,248 \ \text{m}.
\]
👉 Al llegar al arbusto, Joey está a una altura de 5,25 metros, ¡muy por encima de los 2 metros del obstáculo! 🎉 Joey lo supera sin problemas.
4. Altura máxima en el salto
La altura máxima se alcanza cuando la velocidad vertical es \( 0 \). (Recuérdalo, esto es muy importante) La ecuación para el tiempo en este punto es:
\[
t_\text{máx} = \frac{v_{0y}}{g}.
\]
\[
t_\text{máx} = \frac{10,392}{9,8} \approx 1,06 \ \text{s}.
\]
Ahora usamos este tiempo para calcular la altura máxima con la ecuación de posición vertical:
\[
y_\text{máx} = v_{0y} t_\text{máx} – \frac{1}{2} g t_\text{máx}^2.
\]
1. Calculamos el primer término (\( v_{0y} t_\text{máx} \)):
\[
v_{0y} t_\text{máx} = 10,392 \cdot 1,06 = 11,015 \ \text{m}.
\]
2. Calculamos el segundo término (\( \frac{1}{2} g t_\text{máx}^2 \)):
\[
t_\text{máx}^2 = (1,06)^2 = 1,1236,
\]
\[
\frac{1}{2} g t_\text{máx}^2 = \frac{1}{2} \cdot 9,8 \cdot 1,1236 = 5,51 \ \text{m}.
\]
3. Sustituimos en la ecuación de \( y_\text{máx} \):
\[
y_\text{máx} = 11,015 – 5,51 = 5,505 \ \text{m}.
\]
👉 Joey alcanza una altura máxima de 5,51 metros después de 1,06 segundos. ¡Es todo un atleta!
5. Determinar dónde aterriza Joey
Para saber el alcance total del salto, tenemos que encontrar el tiempo total de vuelo, y este ocurre cuando Joey vuelve al suelo (\( y = 0 \)):
\[
t_\text{total} = \frac{2 v_{0y}}{g}.
\]
\[
t_\text{total} = \frac{2 \cdot 10,392}{9,8} \approx 2,12 \ \text{s}.
\]
La distancia total recorrida es:
\[
x_\text{total} = v_{0x} t_\text{total} = 6 \cdot 2,12 = 12,72 \ \text{m}.
\]
¡Un salto impresionante!
Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?
Ahora, Joey está participando en una competencia contra otro canguro llamado Skippy. Ambos quieren demostrar quién puede saltar más lejos. Joey siempre salta con un ángulo de \( 45^\circ \), mientras que Skippy experimenta con otros ángulos (\( 30^\circ, 60^\circ, \) etc.) para intentar superar a Joey.
Ambos saltan con la misma velocidad inicial (\( v_0 = 12 \ \text{m/s} \)) y parten desde el suelo (\( y_0 = 0 \)).
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️ Intermedio (4 /10)
Queremos demostrar que el ángulo de \( 45^\circ \) es el óptimo para alcanzar la mayor distancia horizontal.
En este ejercicio, nos embarcamos en una demostración matemática emocionante. Nuestra misión es demostrar que el ángulo de 45º es el óptimo para alcanzar la mayor distancia horizontal en un lanzamiento parabólico.
Para lograrlo, desglosaremos las ecuaciones fundamentales del movimiento y buscaremos una expresión que relacione la distancia horizontal con el ángulo de lanzamiento. Al final, veremos por qué 45º siempre será el rey indiscutible del alcance máximo. ¡Vamos allá!
La distancia horizontal total (\( x_\text{total} \)) que recorren Joey y Skippy está dada por:
\[
x_\text{total} = v_{0x} t_\text{total}.
\]
1. La velocidad horizontal \( v_{0x} \) es:
\[
v_{0x} = v_0 \cos \theta.
\]
2. El tiempo total de vuelo \( t_\text{total} \) se calcula usando la ecuación vertical, sabiendo que \( y = 0 \) al aterrizar:
\[
t_\text{total} = \frac{2 v_{0y}}{g},
\]
donde \( v_{0y} = v_0 \sin \theta \).
Sustituyendo \( t_\text{total} \) en \( x_\text{total} \):
\[
x_\text{total} = v_0 \cos \theta \cdot \frac{2 v_0 \sin \theta}{g}.
\]
Simplificamos:
\[
x_\text{total} = \frac{2 v_0^2 \sin \theta \cos \theta}{g}.
\]
Relación trigonométrica para optimizar \( x_\text{total} \)
Recuera la identidad trigonométrica:
\[
\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta.
\]
Reescribimos la ecuación del alcance:
\[
x_\text{total} = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}.
\]
👉 Observación clave: El alcance depende directamente de \( \sin 2\theta \). Para maximizar \( x_\text{total} \), necesitamos maximizar \( \sin 2\theta \).
Determinando el ángulo óptimo
La función \( \sin 2\theta \) alcanza su valor máximo cuando:
\[
2\theta = 90^\circ \quad \Rightarrow \quad \theta = 45^\circ.
\]
Por lo tanto, el ángulo óptimo para alcanzar la mayor distancia horizontal es \( \theta = 45^\circ \).
Comparación de resultados en la competencia de saltos
– Para \( \theta = 45^\circ \):
\[
x_\text{total} = \frac{v_0^2}{g}.
\]
– Para \( \theta < 45^\circ \) (como \( 30^\circ \)) o \( \theta > 45^\circ \) (como \( 60^\circ \)), el valor de \( \sin 2\theta \) será menor que 1, reduciendo el alcance horizontal.
Solución:
Joey siempre alcanzará la mayor distancia con \( \theta = 45^\circ \), mientras que Skippy, al usar otros ángulos, quedará por detrás. ¡El campeón está claro! 🎉
Caza el fallo. ¿Serás capaz de encontrarlo?
🕵️♂️ En el siguiente problema hemos escondido uno (o más) errores estratégicamente. Puede estar en el enunciado o en la solución, así que abre bien los ojos y prepárate. ¿Listo para demostrar que nada se te escapa?
Joey, el intrépido canguro, ha encontrado un delicioso fruto colgando de una rama a 6 metros de altura. Desde el suelo, decide dar un salto parabólico para alcanzarlo. Sabemos que Joey siempre salta con un ángulo de 45º.
¿Cuál debe ser la velocidad inicial mínima que Joey necesita para alcanzar el fruto colgante?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Intermedio (4 /10)
Encuentra el fallo
Para resolver este problema, nos centraremos en el movimiento vertical del salto, ya que queremos saber si Joey puede llegar a la altura necesaria. Usaremos la ecuación de posición vertical para calcular la velocidad inicial mínima necesaria para que la altura máxima (\( y_\text{máx} \)) del salto sea igual a \( 6 \ \text{m} \).
Sabemos que la altura máxima se alcanza cuando la velocidad vertical momentánea es cero (\( v_y = 0 \)). Usaremos esta condición para encontrar la relación entre la velocidad inicial y la altura máxima.
Paso 1: Ecuación de altura máxima
La posición vertical está dada por:
\[
y = v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2,
\]
pero en el instante de la altura máxima, la velocidad vertical es cero. El tiempo en ese instante es:
\[
t_\text{máx} = \frac{v_{0y}}{g}.
\]
Sustituimos \( t_\text{máx} \) en la ecuación de \( y \):
\[
y_\text{máx} = v_{0y} \cdot t_\text{máx} – \frac{1}{2} g (t_\text{máx})^2.
\]
Sustituimos \( t_\text{máx} = \frac{v_{0y}}{g} \):
\[
y_\text{máx} = v_{0y} \cdot \frac{v_{0y}}{g} – \frac{1}{2} g \left( \frac{v_{0y}}{g} \right)^2.
\]
Simplificamos:
\[
y_\text{máx} = \frac{v_{0y}^2}{g} – \frac{1}{2} \cdot \frac{v_{0y}^2}{g}.
\]
\[
y_\text{máx} = \frac{v_{0y}^2}{2g}.
\]
👉 Conclusión: La altura máxima depende únicamente de la componente vertical de la velocidad inicial (\( v_{0y} \)).
Paso 2: Relación entre \( v_{0y} \) y \( v_0 \)
Dado que Joey salta con un ángulo de 45º, las componentes de la velocidad inicial son:
\[
v_{0y} = v_0 \sin 45^\circ, \quad v_0 \sin 45^\circ = v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Sustituimos \( v_{0y} = v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \) en la ecuación de \( y_\text{máx} \):
\[
y_\text{máx} = \frac{\left(v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2g}.
\]
Paso 3 : Resolver para \( v_0 \)
1. Sustituimos \( g = 9,8 \ \text{m/s}^2 \) y \( y_\text{máx} = 6 \):
\[
6 = \frac{v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{4 \cdot 9,8}.
\]
\[
6 \cdot (4 \cdot 9,8) = v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Calculamos:
\[
6 \cdot 39,2 = v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
\[
235,2 = v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
3. Despejamos \( v_0 \):
\[
v_0 = \frac{235,2 \cdot 2}{\sqrt{2}}.
\]
\[
v_0 = \frac{470,4}{1,414} \approx 332,4 \ \text{m/s}.
\]
Según esta solución, Joey necesitaría una velocidad inicial de \( 332,4 \ \text{m/s} \) para alcanzar el fruto colgante. Que equivale a aproximadamente 1196,64 \ \text{km/h}.
Algo está mal en esta solución y tu misión es encontrar dónde cometimos el fallo.
Solución correcta sin errores (Inténtalo primero)
Hay dos errores. Un error ocurrió al olvidar elevar al cuadrado el término \( v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \) en la expresión de \( y_\text{máx} \) y el segundo error sucede en el denominador que pasa de 2g a 4g.
Al no elevar al cuadrado y duplicar g la relación entre \( y_\text{máx} \) y \( v_0 \) no se calcula correctamente, lo que genera un valor desorbitado para \( v_0 \). Este error subraya la importancia de seguir con precisión las reglas algebraicas en problemas matemáticos.
Vamos seguir el problema desde el paso 2:
Paso 2: Relación entre \( v_{0y} \) y \( v_0 \)
Dado que Joey salta con un ángulo de 45º, las componentes de la velocidad inicial son:
\[
v_{0y} = v_0 \sin 45^\circ, \quad v_0 \sin 45^\circ = v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Sustituimos \( v_{0y} = v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \) en la ecuación de \( y_\text{máx} \):
\[
y_\text{máx} = \frac{\left(v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2g}.
\]
Simplificamos:
\[
y_\text{máx} = \frac{v_0^2 \cdot \frac{2}{4}}{2g} = \frac{v_0^2}{4g}.
\]
Fíjate en el denominador, ahora aparece el 4g y no es un error, logicamente al operar para simplificar, una vez elevado al cuadrado, ese 4g está bien expresado ahora.
Paso 3: Resolver para \( v_0 \)
Queremos que \( y_\text{máx} = 6 \ \text{m} \). Sustituimos:
\[
6 = \frac{v_0^2}{4g}.
\]
Despejamos \( v_0^2 \):
\[
v_0^2 = 6 \cdot 4g = 24 \cdot 9,8 = 235,2.
\]
Tomamos la raíz cuadrada:
\[
v_0 = \sqrt{235,2} \approx 15,3 \ \text{m/s}.
\]
Joey necesita una velocidad inicial mínima de \( 15,3 \ \text{m/s} \) para alcanzar el fruto colgante a \( 6 \ \text{m} \) de altura. ¡Con ese impulso, Joey tendrá un delicioso premio asegurado! 🦘✨
Reflexión sobre el error: Una velocidad poco realista
En nuestra solución errónea, calculamos que Joey necesitaría una velocidad inicial de 332,4 m/s, lo que equivale a unos 1196,64 km/h. Si bien este resultado puede parecer emocionante, también debemos preguntarnos: ¿es razonable?
Para un canguro saltar con una velocidad semejante implicaría que Joey se movería más rápido que la mayoría de aviones comerciales. 🌍✈️ Desde un punto de vista físico, esto es claramente imposible para un animal terrestre.
Identificando el problema
El error radica en no elevar al cuadrado el término \( v_0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \) en nuestra expresión para la altura máxima. Al olvidarlo, nuestras matemáticas llevaron a un resultado completamente irreal. Esto nos enseña algo fundamental en la física y las matemáticas:
1. Revisar siempre los cálculos: Los errores algebraicos pueden introducir inconsistencias en los resultados. Por pequeños que parezcan, pueden tener un gran impacto en el resultado final.
2. Evaluar la solución desde una perspectiva física: Incluso si nuestros cálculos parecen correctos, debemos interpretar el resultado y preguntarnos: ¿tiene sentido físicamente?
¡Recuerda siempre que las matemáticas nos guían, pero es nuestra comprensión de la física la que asegura que el resultado sea coherente! 😊
Problemas Relacionados de Lanzamiento Parabólico
El Disparo del Siglo: Matemáticas, Barcos Piratas y un General Implacable
El puerto está en alerta máxima. Desde lo alto de la playa, el capitán observa a través de su catalejo los barcos enemigos que avanzan lentamente, amenazando con invadir. Junto
Salto Parabólico en el Gran Concurso de Saltos de Canguros
En la sabana australiana, el evento más esperado del año está en pleno apogeo: El Gran Concurso de Saltos de Canguros. Joey, un joven canguro con grandes sueños, está a
Salto Parabólico en el Gran Concurso de Saltos de Canguros
En la sabana australiana, el evento más esperado del año está en pleno apogeo: El Gran Concurso de Saltos de
El Disparo del Siglo: Matemáticas, Barcos Piratas y un General Implacable
El puerto está en alerta máxima. Desde lo alto de la playa, el capitán observa a través de su catalejo
Si te gustaron estos ejercicios, suscríbete para recibir más contenido exclusivo.
Material Extra
En esta sección recopilamos recursos de otros profesionales apasionados por la enseñanza: profesores con años de experiencia, webs educativas de calidad, y materiales que considero útiles para que puedas profundizar y afianzar lo aprendido.
¿Eres Profesor/a o creador/a de contenidos?. Envia tus aportes si quieres que aparezcan aquí. Contacto
En esta sección encontrarás desde los fundamentos más básicos hasta la deducción de las fórmulas principales, todo explicado paso a paso para que lo entiendas de principio a fin.
Además, te mostramos cómo usar estas fórmulas en problemas prácticos y te ayudamos a resolver esas dudas habituales que pueden surgir mientras estudias.
También te revelamos los errores más comunes que suelen cometerse en este tipo de ejercicios, para que puedas evitarlos y mejorar tus resultados con confianza. 👉 Tiro Parabólico
En la sección principal de cinemática encontrarás no solo problemas resueltos de todo tipo, sino también toda la teoría, las fórmulas explicadas paso a paso y recursos que te harán dominar el tema.
Curso completo de Cinemática creado por Profesor10demates. Aprende a resolver los problemas clásicos de MRU, Movimiento circular, caida libre y ejercicios de lanzamiento parabólico.
Este archivo contiene 5 problemas resueltos paso a paso y explicados en detalle de lanzamiento parabólico de nivel de 1º de bachiller y 1 de lanzamiento horizontal. De la web Yoquieroaprobar.es
Comparte con tus compañeros de clase! 🤗