El puerto está en alerta máxima. Desde lo alto de la playa, el capitán observa a través de su catalejo los barcos enemigos que avanzan lentamente, amenazando con invadir. Junto a él estamos nosotros, sus fieles ayudantes, listos para realizar los cálculos que decidirán el destino del puerto.
Sin perder tiempo, empezamos a hacer los cálculos, seguros de que el proyectil no alcanzará el barco. Pero aquí es donde las cosas empiezan a ponerse interesantes...
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Hoy no es un simple problema de libro, ¡es una misión estratégica! Nuestro capitán, con su catalejo en mano y su actitud implacable, nos ha pedido que hagamos los cálculos necesarios para un disparo crucial. Según él, el primer barco enemigo está a 25.000 metros, y tiene fe ciega en que su cañón puede alcanzarlo con un ángulo de \(45^\circ\).
Claro, a simple vista parece que está un poco lejos, ¿no? Pero aquí no importa lo que opinemos. El capitán necesita números, y nosotros somos sus estrategas matemáticos. Vamos a sacar las fórmulas, hacer los cálculos y ver si este disparo es posible… o si necesitamos convencer al capitán de ajustar algo.
Solución paso a paso
Calculamos el alcance total del proyectil
Sabemos que la velocidad inicial es \(490 \, \text{m/s}\) y el ángulo de lanzamiento es \(45^\circ\).
Primero, descomponemos la velocidad inicial:
– Velocidad horizontal (\(v_{0x}\)):
\[
v_{0x} = v_0 \cdot \cos(45^\circ) = 490 \cdot 0.707 \approx 346.43 \, \text{m/s}
\]
– Velocidad vertical (\(v_{0y}\)):
\[
v_{0y} = v_0 \cdot \sin(45^\circ) = 490 \cdot 0.707 \approx 346.43 \, \text{m/s}
\]
El tiempo total de vuelo se calcula en el eje \(y\):
\[
t = \frac{2 \cdot v_{0y}}{g} = \frac{2 \cdot 346.43}{9.8} \approx 70.73 \, \text{s}
\]
Con el tiempo total, encontramos el alcance horizontal:
\[
x = v_{0x} \cdot t = 346.43 \cdot 70.73 \approx 24.500 \, \text{m}
\]
Después de los cálculos, nos giramos hacia el capitán y le decimos con seguridad:
“Capitán, lo siento, pero el disparo se quedará corto. El proyectil solo alcanza \(24.500 \, \text{m}\), y el barco está a \(25.000 \, \text{m}\). ¡No llegará!”
El disparo impacta… pero no debería
El capitan no está conforme con nuestros cálculos y pese a todo, ordena lanzar el proyectil. Tras unos segundos de tensión el proyectil surca los cielos, describiendo una elegante parábola, y ante nuestra sorpresa, impacta directamente en el barco. Miramos nuestros cálculos con incredulidad. Todo apuntaba a que el alcance máximo era de \(24.500 \, \text{m}\), y sin embargo, ahí está: el barco ha sido derribado.
El capitán, con una sonrisa socarrona, dice:
“Tus cálculos son muy bonitos, pero olvidaste algo importante… ¡el barco viene directamente hacia nosotros!”
Calculemos la velocidad del barco
Claro, cómo pudimos pasarlo por alto! el barco se mueve hacia nosotros mientras el proyectil esta en el aire.
Ahora nos toca determinar a qué velocidad se acerca el barco. Hay dos datos que ya sabemos:
– El barco tiene que recorre una distancia de \(500 \, \text{m}\) (la diferencia entre su posición inicial y el alcance máximo del proyectil que hemos calculado antes).
– El proyectil tarda \(70.73 \, \text{s}\) en completar su trayectoria.
vamos a suponer que el barco se mueve con un Movimiento Rectilíneo Uniforme a velocidad constante, así que usamos la fórmula:
\[
v_{\text{barco}} = \frac{\Delta x}{t}
\]
Sustituyendo en la fórmula:
\[
v_{\text{barco}} = \frac{500}{70.73} \approx 7.07 \, \text{m/s}
\]
Obtenemos que el barco se debe desplazar hacia nosotros a una velocidad constante de \(7.07 \, \text{m/s}\), lo suficiente para acortar los \(500 \, \text{m}\) que le separaban del impacto.
El capitán tenía razón
El disparo del proyectil no habría alcanzado al barco si este estuviera inmóvil en el agua. Sin embargo, el movimiento del barco hacia nosotros hizo posible el impacto. El capitán, curtido en mil batallas, había considerado un detalle que nosotros, absortos en los números, pasamos por alto.
Con una sonrisa, el capitán nos da una última lección:
«En física, como en la guerra, los números son clave, pero nunca olvides considerar todo lo que puede cambiar en el campo de batalla. Esa es la verdadera estrategia.»
Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?
La Batalla Continúa: El Cañón en la Colina
El aire en el puerto huele a pólvora y victoria, pero la calma dura poco. Mientras el capitán celebra el impacto en el primer barco, aparece una nueva flota en el horizonte. Sin dudarlo, decide tomar una posición más estratégica.
“Llevad el cañón a lo alto de esa colina,” ordena señalando una elevación cercana, 100 metros sobre el nivel del mar. “Desde ahí, tendremos más ventaja.”
Esta vez, el barco enemigo está anclado a 25.000 metros de distancia, completamente inmóvil. Sin embargo, el capitán tiene dudas sobre si la velocidad inicial del cañón (\(v_0 = 490 \, \text{m/s}\)) con el ángulo de lanzamiento de \(45^\circ\) será suficiente desde esta nueva posición.
Nuestra tarea ahora es la siguiente:
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️ Intermedio (4 /10)
Determinar qué velocidad inicial necesitaríamos para acertar en el barco.
El cañón ha sido elevado a 100 metros sobre el nivel del mar y debe alcanzar un barco situado a 25.000 metros de distancia horizontal. El ángulo de lanzamiento es \(45^\circ\), y necesitamos calcular la velocidad inicial \(v_0\) necesaria para que el proyectil impacte en el barco.
Datos del problema
1. Altura inicial (\(y_0\)): \(100 \ \text{m}\).
2. Distancia horizontal (\(x\)): \(25.000 \ \text{m}\).
3. Ángulo de lanzamiento (\(\theta\)): \(45^\circ\).
4. Aceleración de la gravedad (\(g\)): \(9,8 \ \text{m/s}^2\).
Ecuaciones principales
Sabemos que el proyectil sigue una trayectoria parabólica, y la posición en función del tiempo está dada por estas ecuaciones:
1. Posición horizontal:
\[
x = v_{0x} t \quad \text{donde} \quad v_{0x} = v_0 \cos \theta.
\]
2. Posición vertical:
\[
y = y_0 + v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2 \quad \text{donde} \quad v_{0y} = v_0 \sin \theta.
\]
Para que el proyectil alcance el barco, la posición horizontal debe ser \(x = 25.000 \ \text{m}\) y la posición vertical debe ser \(y = 0 \ \text{m}\).
Relación entre tiempo y \(v_0\)
De la ecuación de la posición horizontal:
\[
t = \frac{x}{v_{0x}} = \frac{x}{v_0 \cos \theta}.
\]
Sustituimos esta expresión de \(t\) en la ecuación de la posición vertical.
Ecuación para \(y = 0\)
La posición vertical es:
\[
y = y_0 + v_{0y} t – \frac{1}{2} g t^2.
\]
Para \(y = 0\):
\[
0 = y_0 + v_0 \sin \theta \cdot t – \frac{1}{2} g t^2.
\]
Sustituimos \(t = \frac{x}{v_0 \cos \theta}\):
\[
0 = y_0 + v_0 \sin \theta \cdot \frac{x}{v_0 \cos \theta} – \frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta} \right)^2.
\]
Simplificamos la ecuación
1. El segundo término:
\[
v_0 \sin \theta \cdot \frac{x}{v_0 \cos \theta} = x \tan \theta.
\]
2. El tercer término:
\[
\frac{1}{2} g \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta} \right)^2 = \frac{1}{2} g \frac{x^2}{v_0^2 \cos^2 \theta}.
\]
La ecuación queda como:
\[
0 = y_0 + x \tan \theta – \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \theta}.
\]
Despejamos \(v_0^2\)
Reorganizamos términos:
\[
\frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} = y_0 + x \tan \theta.
\]
Despejamos \(v_0^2\):
\[
v_0^2 = \frac{g x^2}{2 \cos^2 \theta \left( y_0 + x \tan \theta \right)}.
\]
Finalmente, la velocidad inicial es:
\[
v_0 = \sqrt{\frac{g x^2}{2 \cos^2 \theta \left( y_0 + x \tan \theta \right)}}.
\]
Sustituimos valores
1. \( g = 9,8 \ \text{m/s}^2 \),
2. \( x = 25.000 \ \text{m} \),
3. \( y_0 = 100 \ \text{m} \),
4. \( \theta = 45^\circ \), así que:
\[
\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tan 45^\circ = 1.
\]
Sustituimos:
\[
v_0 = \sqrt{\frac{9,8 \cdot (25.000)^2}{2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \left( 100 + 25.000 \cdot 1 \right)}}.
\]
Calculamos paso a paso:
1. \( x^2 = 25.000^2 = 625.000.000 \),
2. \( \cos^2 45^\circ = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 0,5 \),
3. \( y_0 + x \tan \theta = 100 + 25.000 = 25.100 \).
Sustituimos:
\[
v_0 = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 625.000.000}{2 \cdot 0,5 \cdot 25.100}}.
\]
Simplificamos:
1. \( 2 \cdot 0,5 = 1 \),
2. \( v_0 = \sqrt{\frac{9,8 \cdot 625.000.000}{25.100}} \),
3. \( 9,8 \cdot 625.000.000 = 6.125.000.000 \),
4. \( \frac{6.125.000.000}{25.100} \approx 244.000 \).
Por lo tanto:
\[
v_0 = \sqrt{244.000} \approx 494 \ \text{m/s}.
\]
Respuesta final
La velocidad inicial necesaria para alcanzar el barco es aproximadamente:
\[
\boxed{494 \ \text{m/s}}
\]
El cañón está listo para disparar con precisión quirúrgica. Cada detalle en los cálculos asegura que el proyectil impactará donde debe, ¡y la victoria está garantizada!
Caza el fallo. ¿Serás capaz de encontrarlo?
🕵️♂️ En el siguiente problema hemos escondido uno (o más) errores estratégicamente. Puede estar en el enunciado o en la solución, así que abre bien los ojos y prepárate. ¿Listo para demostrar que nada se te escapa?
Se golpea una pelota de golf de manera que la velocidad inicial (\(v_0\)) forma un ángulo de 45º con la horizontal. La pelota alcanza el suelo a 180 m desde donde fue lanzada. Calcula:
1. La velocidad inicial (\(v_0\)).
2. El tiempo total en el aire (\(t\)).
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Encuentra el fallo
Paso 1: Relación en el eje \(x\)
\[
x = v_{0x} \cdot t \quad \text{con } v_{0x} = v_0 \cdot \cos(45^\circ)
\]
\[
180 = (v_0 \cdot 0.866) \cdot t
\]
\[
t = \frac{180}{v_0 \cdot 0.866} \tag{1}
\]
Paso 2: Relación en el eje \(y\)
La posición vertical sigue:
\[
y = v_{0y} \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2 \quad \text{con } y = 0 \text{ al tocar el suelo.}
\]
\[
0 = (v_0 \cdot 0.707) \cdot t – \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t^2
\]
Factorizamos \(t\):
\[
t \left[ v_0 \cdot 0.707 – 4.9 \cdot t \right] = 0
\]
De aquí, \(t = 0\) (inicio del movimiento) o:
\[
t = \frac{v_0 \cdot 0.707}{4.9} \tag{2}
\]
Paso 3: Igualamos ambas expresiones para \(t\)
De (1) y (2):
\[
\frac{180}{v_0 \cdot 0.866} = \frac{v_0 \cdot 0.707}{4.9}
\]
Resolviendo para \(v_0\):
\[
v_0^2 = \frac{180 \cdot 4.9}{0.866 \cdot 0.707}
\]
\[
v_0 = \sqrt{\frac{180 \cdot 4.9}{0.612}} \approx 47.7 \, \text{m/s}
\]
Paso 4: Calculamos el tiempo total (\(t\))
Sustituyendo \(v_0 = 47.7 \, \text{m/s}\) en (2):
\[
t = \frac{47.7 \cdot 0.707}{4.9} \approx 6.89 \, \text{s}
\]
Soluciones con error:
1. Velocidad inicial (\(v_0\)) = 47.7 m/s.
2. Tiempo total (\(t\)) = 6.89 s.
Solución correcta sin errores (Inténtalo primero)
El error está en el paso 1, al usar un valor incorrecto para \(\cos(45^\circ)\). En lugar de \(0.707\), se usó \(0.866\), que corresponde a \(\cos(30^\circ)\). Esto genera valores erróneos para \(v_0\) y \(t\).
Solución correcta:
Paso 1: Relación en el eje \(x\)
Con el valor correcto de \(\cos(45^\circ = 0.707)\):
\[
180 = (v_0 \cdot 0.707) \cdot t
\]
\[
t = \frac{180}{v_0 \cdot 0.707} \tag{1}
\]
Paso 2: Relación en el eje \(y\)
(El cálculo aquí sigue siendo correcto con \(\sin(45^\circ = 0.707)\)):
\[
t = \frac{v_0 \cdot 0.707}{4.9} \tag{2}
\]
Paso 3: Igualamos ambas expresiones para \(t\)
\[
\frac{180}{v_0 \cdot 0.707} = \frac{v_0 \cdot 0.707}{4.9}
\]
Resolviendo para \(v_0\):
\[
v_0^2 = \frac{180 \cdot 4.9}{(0.707)^2}
\]
\[
v_0 = \sqrt{\frac{180 \cdot 4.9}{0.499}} \approx 42 \, \text{m/s}
\]
Paso 4: Calculamos el tiempo total (\(t\))
Con el valor correcto de \(v_0\):
\[
t = \frac{42 \cdot 0.707}{4.9} \approx 6.06 \, \text{s}
\]
Soluciones correctas:
1. Velocidad inicial (\(v_0\)) = 42 m/s.
2. Tiempo total (\(t\)) = 6.06 s.
«En física, la precisión no es opcional, es fundamental.»
Antes de lanzarte con las fórmulas y cálculos, asegúrate de que todos los valores iniciales son correctos. Detente un segundo, revisa tus números y recuerda: no importa cuán perfecto parezca tu razonamiento, si los datos están mal, el resultado también lo estará. ¡El éxito está en los detalles!
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