La Caída Libre de Curiosity Junior: Reviviendo el Experimento de Galileo en Marte

Curiosity Junior, el robot explorador más curioso de Marte, decide rendir homenaje a Galileo dejando caer una muestra de roca desde una altura de \( y_0 = 20 \, \text{m} \).

Este experimento de caída libre busca calcular la aceleración gravitatoria exacta en Marte. Sorprendentemente, el tiempo que tarda la roca en tocar el suelo es de \( t = 3.26 \, \text{s} \). ¿Podemos, con estos datos, determinar el valor de \( g \) en el Planeta Rojo? ¡Vamos a descubrirlo!

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)

Este ejercicio nos lleva a Marte, donde la gravedad es menor que en la Tierra. Pero, ¿cuánto menor exactamente? Usando las fórmulas de la caída libre, calcularemos la aceleración gravitatoria del Planeta Rojo. ¡Sí, con una simple fórmula podemos descubrirlo! ¿No es fascinante? 🚀

📝 Solución paso a paso

1. Fórmula general de posición en caída libre

La posición en un movimiento de caída libre se calcula usando:
\[
y = y_0 + v_{y0} \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]
Dado que la roca parte desde el reposo (\( v_{y0} = 0 \)) y el punto inicial es la altura máxima (\( y_0 = 20 \, \text{m} \)), simplificamos:
\[
y = y_0 + \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]

Como llega al suelo, tomaremos la altura final como (\( y = 0 \)). Por lo tanto:
\[
0 = y_0 + \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]

Reorganizando para despejar \( g \):
\[
g = \frac{-2 \cdot y_0}{t^2}
\]

Ahora sustituimos
\[
g = \frac{-2 \cdot 20}{(3.26)^2}
\]
\[
g = \frac{-40}{10.63}
\]
\[
g \approx -3.76 \, \text{m/s}^2
\]

Nuestro cálculo ha sido increíblemente preciso. Según datos de Wikipedia, la aceleración gravitacional promedio en Marte es de \(3.72076 \, \text{m/s}^2\), lo que equivale aproximadamente al 38% de la gravedad terrestre. Esto confirma que el tiempo que hemos calculado para el experimento encaja perfectamente con la realidad marciana. 

comparativa gravedad marte-tierra luna
Comparativa de la gravedad entre la Tierra, Marte y la Luna: La gráfica muestra cómo varía la gravedad relativa (en porcentaje respecto a la gravedad en la superficie de la Tierra) con la altitud, desde el nivel del suelo hasta los 12,000 km de elevación.

Se observa que la Tierra mantiene la mayor gravedad (línea verde), seguida por Marte (línea naranja) y, finalmente, la Luna (línea gris), cuya gravedad es significativamente más baja. Este análisis refleja cómo la gravedad disminuye con la altitud y varía entre estos cuerpos celestes debido a sus diferentes masas y radios. Fuente: Wikipedia

2. Velocidad cuando la roca llega al suelo marciano.

No nos piden esta dato en el ejercicio. Pero es muy facil de calcular. La fórmula de la velocidad en caída libre es:
\[
v_y = v_{y0} + g \cdot t
\]
Con \( v_{y0} = 0 \):
\[
v_y = g \cdot t
\]
Sustituyendo los valores de tiempo y g :
\[
v_y = (-3.76) \cdot (3.26)
\]
\[
v_y \approx -12.26 \, \text{m/s}
\]

Es decir, la roca impacta el suelo con una velocidad de \( -12.26 \, \text{m/s} \). El signo negativo indica como siempre, que la dirección del movimiento es hacia abajo.

🚀 Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?

¿Qué ocurriría si cambiamos las condiciones del experimento? ¿Cómo cambiaría la gravedad en otros planetas o cuerpos celestes? ¿Qué implicaciones tendría una mayor o menor gravedad en la velocidad final o el tiempo de caída? Este es el momento de dejar volar la imaginación, cuestionar lo aprendido y conectar con fenómenos fascinantes de nuestro universo.

¡Vamos a explorar juntos!

1. Volvemos a casa, a nuestro querido planeta azul, para llevar a cabo el mismo experimento del robot Curiosity Junior. Dejamos caer una muestra desde 20 metros de altura, pero esta vez el tiempo de caída registrado es de \( t = 2.02 \, \text{s} \).

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)

Cálculo de \( g \) en la Tierra

Usaremos la fórmula de posición del MRUA adaptada a la caída libre:
\[
y = y_0 + v_{y0} \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]

Sabemos que:
– \( y_0 = 20 \, \text{m} \) (altura inicial),
– \( y = 0 \, \text{m} \) (suelo),
– \( v_{y0} = 0 \, \text{m/s} \) (parte del reposo),
– \( t = 2.02 \, \text{s} \).

Sustituyendo en la ecuación:
\[
0 = 20 + 0 \cdot 2.02 + \frac{1}{2} g \cdot (2.02)^2
\]

\[
0 = 20 + \frac{1}{2} g \cdot 4.08
\]

Resolvemos para encontrar \( g \):
\[
\frac{1}{2} g \cdot 4.08 = -20
\]

\[
g = \frac{-20}{0.5 \cdot 4.08} = \frac{-20}{2.04} \approx -9.8 \, \text{m/s}^2
\]

La aceleración de la gravedad en la Tierra es \( g \approx -9.8 \, \text{m/s}^2 \), lo cual coincide perfectamente con el valor conocido. ¡Nuestro experimento es un éxito!

Cálculo de la Velocidad Final

Usamos la fórmula de velocidad de la caida libre:
\[
v_y = v_{y0} + g \cdot t
\]

Sustituyendo los valores:
\[
v_y = 0 + (-9.8) \cdot 2.02
\]

\[
v_y = -19.8 \, \text{m/s}
\]

La velocidad final de la muestra al llegar al suelo es \( v_y = -19.8 \, \text{m/s} \). El signo negativo indica que la dirección es hacia abajo.

Comparativa Tierra vs Marte

Tierra:
– Gravedad (\( g \)): \(-9.8 \, \text{m/s}^2\)
– Velocidad final (\( v_y \)): \(-19.8 \, \text{m/s}\)
– Tiempo de caída (\( t \)): \( 2.02 \, \text{s}\)

Marte:
– Gravedad (\( g \)): \(-3.76 \, \text{m/s}^2\)
– Velocidad final (\( v_y \)): \(-12.26 \, \text{m/s}\)
– Tiempo de caída (\( t \)): \( 3.26 \, \text{s}\)


– Gravedad: En Marte, la gravedad es aproximadamente el 38% de la de la Tierra, lo que provoca una caída más lenta de los objetos.
– Velocidad Final: Debido a la menor gravedad en Marte, la velocidad final al alcanzar el suelo es considerablemente más baja.
– Tiempo de Caída: Los objetos tardan más tiempo en caer en Marte, ya que la aceleración gravitacional es menor.

¡Es fascinante cómo la física nos permite comprender estos fenómenos y comparar mundos tan distintos!

2. Volvemos a Marte. Imagina que el robot Curiosity Junior, en lugar de dejar caer la muestra de roca, la lanza hacia abajo con una velocidad inicial de \( v_{y0} = 5 \, \text{m/s} \). Este experimento añade un desafío interesante porque ahora no solo la gravedad actúa sobre la roca, ¡también le damos un empujón inicial!

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️ Intermedio (4 /10)

Ajustamos la ecuación de posición:

La fórmula general para la posición en una caida libre es:
\[
y = y_0 + v_{y0} \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]
En nuestro caso:
– \(y_0 = 20 \, \text{m}\) (positiva, porque es la posición inicial).
– \(v_{y0} = -5 \, \text{m/s}\) (negativa, porque el objeto se lanza hacia abajo). Cuidado con esto hay que respetar el convenio de signos en la caida libre 
– \(g = -3.72 \, \text{m/s}^2\) (negativa, porque la aceleración actúa hacia abajo).
– \(y = 0\) (porque queremos saber cuándo llega al suelo).

Sustituyendo en la fórmula:
\[
0 = 20 + (-5) \cdot t + \frac{1}{2} \cdot (-3.72) \cdot t^2
\]

Simplificamos la ecuación
\[
0 = 20 – 5 \cdot t – 1.86 \cdot t^2
\]
Reorganizamos para dejarlo en forma de una ecuación cuadrática:
\[
-1.86 \cdot t^2 – 5 \cdot t + 20 = 0
\]
Multiplicamos todo por \(-1\) para que sea más cómodo resolver:
\[
1.86 \cdot t^2 + 5 \cdot t – 20 = 0
\]

Usamos la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}
\]
Donde:
– \(a = 1.86\),
– \(b = 5\),
– \(c = -20\).

\[
t = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 – 4 \cdot 1.86 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1.86}
\]

\[
t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 – (-148.8)}}{3.72}
\]
\[
t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 148.8}}{3.72}
\]
\[
t = \frac{-5 \pm \sqrt{173.8}}{3.72}
\]
\[
t = \frac{-5 \pm 13.18}{3.72}
\]

Seleccionamos la solución positiva:
Solo tomamos el valor de \(t\) positivo porque el tiempo no puede ser negativo:
\[
t = \frac{-5 + 13.18}{3.72}
\]
\[
t = \frac{8.18}{3.72} \approx 2.2 \, \text{s}
\]

Resultado:

El objeto tarda aproximadamente 2.2 segundos en llegar al suelo.

Velocidad final:

Usamos la fórmula de la velocidad:
\[
v_y = v_{y0} + g \cdot t
\]
Sustituyendo:
\[
v_y = -5 + (-3.72) \cdot 2.2
\]
\[
v_y = -5 – 8.18
\]
\[
v_y \approx -13.18 \, \text{m/s}
\]

Interpretación:
– El tiempo de caída es \(t \approx 2.2 \, \text{s}\).
– La velocidad al llegar al suelo es \(v_y \approx -13.18 \, \text{m/s}\) (negativa porque va hacia abajo).

Punto Clave:

– Definir un criterio de signos claro, es fundamental.  Considerar hacia abajo como negativo, evita confusiones y asegura consistencia en los cálculos.  

Recuerda, g siempre es negativa porque va hacia abajo y para las velocidades, hacia arriba siempre positivas y si van hacia abajo, siempre negativas. 

Este criterio es el que seguimos en esta web, puede ser que tu profesor utilice otro criterio de signos, sea cual sea, las soluciones numéricas han de ser iguales. 

Simulador de Caida libre para Marte - Tierra - Luna

Explora física de la caída libre con esta simulación interactiva creada por el Departamento de Física de la Universidad de Carolina del Norte. Aquí podrás experimentar cómo varía el comportamiento de los cuerpos al caer en diferentes planetas.

Ajusta la altura inicial, selecciona un planeta y pulsa Drop! para observar en tiempo real las gráficas de velocidad (\(v-t\)) y posición (\(y-t\)), mientras el objeto cae bajo la influencia de distintas gravedades. 

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Clic en la imagen para acceder a la simulación

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