Teoría y Problemas Resueltos de Tiro Parabólico

Imagina que eres un general defendiendo tu puerto de los barcos piratas invasores. Cada vez se acercan mas y tu única defensa es un cañón. Tienes la potencia, las municiones y un objetivo claro, pero hay un problema: tienes que calcular el ángulo perfecto para derribar al enemigo.

Un disparo demasiado bajo caerá al agua, uno demasiado alto lo pasará de largo. ¿Cómo te aseguras de que el proyectil alcance su destino? Aquí es donde entra en juego el tiro parabólico.

¿Listo para apuntar, disparar y aprender? Vamos allá

Explorando la caida libre: un problema de altura

1. Características del Tiro Parabólico

El tiro parabólico es un tipo de movimiento en el que un objeto describe una trayectoria curva en forma de parábola debido a la acción de dos movimientos simultáneos:

  1. Un MRU (Movimiento Rectilíneo Uniforme) en la dirección horizontal: el proyectil avanza con velocidad constante porque no hay fuerzas que lo aceleren o desaceleren en esa dirección.
  2. Un MRUA (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado) en la dirección vertical: aquí la gravedad entra en acción, haciendo que el proyectil suba, alcance un punto máximo y luego vuelva a caer.

Entonces, el tiro parabólico ocurre porque combina dos movimientos que, aunque suceden al mismo tiempo, tienen su propio rollo independiente. Pero aquí está la magia: cuando los juntas, crean esa parábola que tanto nos mola. Vamos a desmenuzar sus características más destacadas, que es donde empieza lo divertido.

tiro parabolico
El GIF muestra un tiro parabólico lanzado desde una altura inicial (\(y_0\)). La trayectoria combina un movimiento horizontal constante y un movimiento vertical afectado por la gravedad. En el punto más alto, la velocidad vertical (\(v_y\)) es cero, y luego el proyectil desciende acelerado hasta impactar en el suelo.
diagrama del tiro parabólico
Este diagrama ilustra cómo en el tiro parabólico las posiciones se agrupan cerca del punto más alto (\(y_{\text{max}}\)) debido a la disminución de la velocidad vertical (\(v_y\)). El ángulo de lanzamiento (\(ϕ\)) y la velocidad inicial (\(v_0\)) determinan tanto la altura máxima como el alcance horizontal (\(Δx\)), mostrando la descomposición del movimiento en dos componentes independientes.
  • 1. Dos movimientos en uno:

    - Horizontal (\(x\)): Con Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), donde la velocidad horizontal (\(v_x\)) permanece constante porque no hay fuerzas que la afecten en esa dirección.

    - Vertical (\(y\)): Con Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA), donde la gravedad (\(g\)) es la única fuerza actuando. Esto provoca que el proyectil primero suba, alcance un punto máximo y luego comience a caer.

  • 2. Los ángulos lo son todo:

    El ángulo inicial (\(α\)) con el que se lanza el proyectil es crucial, ya que determina tanto la altura máxima como la distancia que recorrerá. Algunas curiosidades sobre los ángulos en el tiro parabólico:

    - Los ángulos de salida y de llegada son siempre iguales, siempre que el punto de lanzamiento y el de llegada estén a la misma altura.

    - El alcance máximo se logra con un ángulo de 45°. Este es el punto perfecto donde la combinación de altura y distancia está optimizada.

  • 3. La velocidad inicial manda:

    Si quieres alcanzar más lejos o más alto, la velocidad inicial (\(v_0\)) es tu mejor aliada. Cuanto mayor sea la velocidad inicial, mayor será tanto la altura máxima como la distancia recorrida. Es el factor más determinante en el tiro parabólico, así que no la subestimes.

  • 4. Un momento clave: el punto más alto

    Veremos mas adelante que en el punto más alto de la trayectoria, algo especial ocurre: la velocidad vertical (\(v_y\)) es igual a cero. Esto marcará la altura máxima del proyectil en su trayectoria, pero no afecta a la velocidad horizontal, que sigue constante (recuerda que es un MRU). Este detalle será fundamental para calcular elementos importantes, como el tiempo total de vuelo o el alcance, el tiempo que tarda en llegar al punto mas alto.

2. Fórmulas del Tiro Parabólico: De la velocidad inicial a la parábola completa

El secreto del tiro parabólico: todo empieza con \(v_0\) y \(\alpha\)

Vale, imagina que tienes un proyectil que acabas de lanzar. Ahora, lo que define absolutamente todo, todo su movimiento, es su velocidad inicial (\(v_0\)) y el ángulo (\(\alpha\)) con el que lo disparas.

Estos dos valores son las piezas fundamentales del rompecabezas, porque, si sabes trabajar con ellos, puedes calcular cualquier cosa sobre el tiro parabólico.  ¿La altura máxima? Fácil. ¿El alcance? Lo tienes. Todo parte de entender cómo se comporta la velocidad inicial.

Movimiento en dos dimensiones: lo que pasa en \(x\) e \(y\)

Cuando lanzas de forma parabólica, no se mueve solo hacia adelante o solo hacia arriba. Lo hace en dos direcciones al mismo tiempo:

1. Hacia adelante, en el eje \(x\): Este es el movimiento horizontal.
2. Hacia arriba y luego hacia abajo, en el eje \(y\): Este es el movimiento vertical.

¿Y cómo analizamos esto? Mira, te lo explico:

Descomposición de la velocidad inicial

Repetimos. Cuando lanzas un proyectil, su velocidad inicial (\(v_0\)) no está completamente en \(x\) ni completamente en \(y\), sino en una dirección inclinada. Entonces, usamos trigonometría para dividirla en dos partes:

gráfica del tiro parabólico

– La componente horizontal (\(v_{0x}\)):
Esto es lo que empuja al proyectil hacia adelante.
\[
v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha)
\]
Importante: esta parte es constante. Una vez lanzado, nadie detiene al proyectil en esa dirección.

– La componente vertical (\(v_{0y}\)):
Esto es lo que hace que el proyectil suba (hasta que la gravedad empieza a frenarlo).
\[
v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)
\]
Aquí es donde la gravedad se pone interesante: pelea contra esta componente y, poco a poco, la reduce hasta que el proyectil deja de subir y empieza a caer.

¿Y si queremos recuperar la velocidad inicial?

Supongamos que ya tienes \(v_{0x}\) y \(v_{0y}\) porque alguien te dio los datos o los calculaste. ¿Cómo recuperas \(v_0\)? Sencillo:
\[
v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2}
\]
Esto viene del teorema de Pitágoras. Es como si \(v_{0x}\) y \(v_{0y}\) fueran los lados de un triángulo rectángulo, y \(v_0\) fuera la hipotenusa. (Fíjate en la imagen)

Y si te interesa el ángulo de lanzamiento (\(\alpha\)), también lo puedes calcular:
\[
\tan(\alpha) = \frac{v_{0y}}{v_{0x}}
\]
Es decir, la inclinación de ese triángulo que te dice hacia dónde apunta el proyectil.

Descomponiendo el Tiro Parabólico: Fórmulas y Movimientos en Cada Eje

Ya sabemos descomponer la velocidad inicial en sus componentes cartesianas, ¿verdad? Pues ahora es cuando empieza lo interesante. Vamos a sacar todas las fórmulas que controlan el lanzamiento parabólico, pero no las vamos a soltar de golpe.

En lugar de eso, lo vamos a hacer bien:

Vamos a separar los movimientos por ejes. Primero analizamos el eje \(x\), luego el eje \(y\), y al final juntamos todo para que tenga sentido.

Créeme, es la forma más sencilla de entender cómo funciona este movimiento y de dominarlo sin complicaciones.

El movimiento en el eje \(x\): el más fácil de entender

Empecemos por lo simple: el eje horizontal (\(x\)). Aquí las cosas son claras y sin dramas. Es un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), asi que la velocidad no cambia nunca….hasta que llega al suelo.

– Velocidad horizontal (\(v_x\)):
En este eje, la velocidad inicial (\(v_{0x}\)) es constante porque no hay nada que la frene ni la acelere.
\[
v_x = v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha)
\]

– Posición horizontal (\(x\)):
La posición depende directamente del tiempo que ha pasado (\(t\)) y de la velocidad constante con la que avanza:
\[
x = v_x \cdot t = (v_0 \cdot \cos(\alpha)) \cdot t
\]

En resumen, el eje \(x\) es como un metrónomo: siempre avanza al mismo ritmo. Mientras todo en el eje \(y\) sube y baja dramáticamente, en \(x\) todo sigue su curso como si nada.

El movimiento en el eje  (\(y\)): el efecto de la gravedad en acción

Velocidad en el eje \(y\): cómo cambia gracias a la gravedad

El eje \(y\) es donde pasa toda la acción: la velocidad cambia continuamente porque la gravedad (\(g\)) está empujando hacia abajo sin descanso. La velocidad vertical en el tiro parabólico  (\(v_y\)) depende del tiempo que ha pasado desde el lanzamiento.

La fórmula es la misma que el MRUA:
\[
v_y = v_{0y} – g \cdot t
\]

Donde:
– \(v_{0y}\): es la componente inicial de la velocidad en el eje \(y\), calculada como \(v_0 \cdot \sin(\alpha)\).
– \(g\): es la gravedad (\(9.8 \, \text{m/s}^2\)), que siempre apunta hacia abajo.
– \(t\): es el tiempo transcurrido.

 

¿Qué pasa con \(v_y\) en el camino?

– Subida: La velocidad vertical \(v_y\) empieza siendo positiva (\(v_{0y}\)), pero la gravedad la va frenando poco a poco hasta que, en el punto más alto, se convierte en cero.
– Bajada: A partir de ahí, la gravedad sigue haciendo su trabajo, y \(v_y\) se vuelve negativa, acelerando el proyectil hacia el suelo.

¿Por qué es importante?
Entender \(v_y\) nos permite calcular un montón de cosas importantes, como:
1. El tiempo que tarda en llegar al punto más alto: cuando \(v_y = 0\).
2. La velocidad con la que aterriza el proyectil: porque la gravedad es imparcial y acelera tanto al subir como al bajar.

Así que, no subestimes esta fórmula. Sin ella, el eje \(y\) no tendría sentido, y el tiro parabólico sería solo una curva bonita sin chicha.

La Posición en el eje Y, vamos a por la parábola

A diferencia del eje \(x\), donde todo es constante y predecible, en \(y\) las cosas se ponen interesantes. La posición vertical cambia continuamente porque la gravedad está frenando o acelerando al proyectil.

La fórmula general de la posición vertical es también un MRUA:
\[
y = y_0 + v_{0y} \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]
Pero recuerda que la velocidad inicial vertical (\(v_{0y}\)) está relacionada con el seno del ángulo de lanzamiento (\(\alpha\)):
\[
v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)
\]

Sustituyendo \(v_{0y}\) en la fórmula general, obtenemos:
\[
y = y_0 + (v_0 \cdot \sin(\alpha)) \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]

¿Qué significa cada término?
1. \(y_0\): La altura inicial desde la que lanzas el proyectil. Si empiezas desde el suelo, \(y_0 = 0\). Esto simplifica muchas cosas, pero si tienes una altura inicial, este valor se suma a todo el movimiento.


2. \((v_0 \cdot \sin(\alpha)) \cdot t\): Este es el impulso inicial que lanza el proyectil hacia arriba. A medida que pasa el tiempo, este efecto disminuye porque la gravedad lo va frenando.


3. \(-\frac{1}{2} g \cdot t^2\): Este término representa cómo la gravedad actúa sobre el proyectil, acelerándolo hacia abajo de forma constante.

¿Y qué pasa si \(y = 0\)?

Cuando \(y = 0\), significa que el proyectil ha llegado al suelo, marcando el final de su recorrido. Igualar la fórmula a cero nos permite calcular el tiempo total de vuelo (\(t_{\text{total}}\)):
\[
0 = y_0 + (v_0 \cdot \sin(\alpha)) \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]

Pero cuidado! esto es una ecuación cuadrática en \(t\), que al resolver nos da dos tiempos y debemos saber distinguirlos:
– Uno va a ser el instante inicial (\(t = 0\), cuando lanzamos el proyectil).
– El otro para el tiempo total de vuelo (\(t_{\text{total}}\)), cuando el proyectil regresa al suelo.

El tiempo total es especialmente útil porque con él podemos calcular:
– El alcance máximo (\(x\)) (distancia horizontal total).
– El momento exacto (\(t_total\)) en el que el proyectil toca el suelo.

Esta es la magia del tiro parabólico, fijate que solo es un MRU y un MRUA combinados y la velocidad inicial le metemos el coseno si es en el eje x, y el seno si es en el eje y.

Y ya está, no hay mas!

Prácticamente con estas fórmulas puedes encontrar todo lo que necesitas para entender cómo se mueve el proyectil en cualquier momento. 

Pero vamos a profundizar un poco mas y vamos a analizar algunas situaciones típicas del movimiento parabólico

Un truco clave: el tiempo en el punto más alto (\(t_{\text{máx}}\))

velocidad en ele eje x y en el eje y en el lanzamiento parabólico
Mira como varía la velocidad vy mientras que vx se mantiene constante. Fuente: http://tesla.us.es/

Uno de los detalles más importantes (y que casi siempre te preguntan en los ejercicios) es el tiempo que tarda el proyectil en alcanzar el punto más alto de su trayectoria. ¿La clave? Entender lo que ocurre con la velocidad inicial y sus componentes.

– La velocidad horizontal (\(v_{x}\)) no cambia nunca, es constante durante todo el movimiento.
– Pero la velocidad vertical (\(v_{y}\)) sí cambia, y en el punto más alto ocurre algo especial:
\[
v_y = 0
\]

Este es el truco: cuando \(v_y = 0\), sabemos que el proyectil ha alcanzado la mitad de su recorrido en el aire.

Partimos de la fórmula de la velocidad vertical:
\[
v_y = v_{0y} – g \cdot t
\]
Sustituimos \(v_y = 0\):
\[
0 = v_0 \cdot \sin(\alpha) – g \cdot t
\]
Despejamos \(t\):
\[
t_{\text{máx}} = \frac{v_0 \cdot \sin(\alpha)}{g}
\]

Con este \(t_{\text{máx}}\), puedes calcular directamente:
1. La altura máxima (\(y_{\text{máx}}\)) sustituyendo \(t_{\text{máx}}\) en la fórmula de posición vertical.
2. El tiempo total de vuelo (\(t_{\text{total}} = 2 \cdot t_{\text{máx}}\)), porque el tiempo de subida es igual al de bajada. Pero cuidado, solo se cumple si la altura inicial (\(y_0\)) y la altura final (\(y_f\)) deben ser iguales. Es decir:
– El proyectil debe volver al mismo nivel desde el que fue lanzado (por ejemplo, desde el suelo).

Si el proyectil se lanza desde una altura inicial distinta (\(y_0 \neq y_f\)), entonces:
– El tiempo de subida y el de bajada ya no serán iguales porque la caída cubrirá una distancia vertical diferente.

3. La ecuación de la trayectoria: la parábola definitiva

 Por último, vamos a obtener la ecuación general que describe la trayectoria del proyectil. Esto nos dará la forma parabólica que tanto buscamos. (Nivel avanzado)

1. Partimos de las ecuaciones en \(x\) y \(y\):
Sabemos que:
– Posición en \(x\):
\[
x = v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t
\]
– Posición en \(y\):
\[
y = y_0 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]

2. Sustituimos \(t\) desde la ecuación de \(x\):
De la posición en \(x\):
\[
t = \frac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)}
\]
Sustituimos este valor en la fórmula de \(y\):
\[
y = y_0 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot \frac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} – \frac{1}{2} g \cdot \left(\frac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)}\right)^2
\]

 

3. Simplificamos la ecuación:
El primer término se simplifica a:
\[
y = y_0 + x \cdot \tan(\alpha)
\]
El segundo término queda:
\[
-\frac{1}{2} g \cdot \frac{x^2}{(v_0 \cdot \cos(\alpha))^2}
\]

Finalmente, la ecuación de la trayectoria es:
\[
y = y_0 + x \cdot \tan(\alpha) – \frac{g \cdot x^2}{2 \cdot (v_0 \cdot \cos(\alpha))^2}
\]

¿Qué significa esta ecuación?
1. \(y_0 + x \cdot \tan(\alpha)\): Describe el movimiento si no hubiera gravedad; una línea recta inclinada.
2. \(-\frac{g \cdot x^2}{2 \cdot (v_0 \cdot \cos(\alpha))^2}\): Este término es la curvatura causada por la gravedad, dándole forma a la parábola.

Con estas fórmulas y trucos ya puedes desmenuzar cualquier ejercicio de tiro parabólico. Desde calcular tiempos y alturas hasta graficar la trayectoria, todo parte de entender cómo trabajan juntos el eje \(x\) y el eje \(y\). 

4. El Secreto del Alcance: Lo que no te cuentan del tiro parabólico

El alcance horizontal (\(R\)) es una de las fórmulas más elegantes del tiro parabólico, y también una de las más avanzadas. Si estás en bachillerato, quizás no te la hayan explicado aún, pero aquí vamos a descifrarla porque demuestra algo increíble:

sabiendo el ángulo de lanzamiento (\(\alpha\)) y la velocidad inicial (\(v_0\)), puedes calcular absolutamente todo en el tiro parabólico.

Vamos al lío, paso a paso.

Lo primero, ¿qué es \(R\) y qué representa?

El alcance horizontal (\(R\)) no es más que la distancia total en el eje \(x\) que recorre el proyectil desde el punto de lanzamiento hasta que toca el suelo. En otras palabras, es la posición final en \(x\) cuando \(y = 0\) (es decir, cuando el proyectil vuelve al suelo).

¿Es lo mismo que la fórmula de \(x\) en el eje horizontal? Sí, pero \(R\) da un paso más allá porque no depende directamente del tiempo (\(t\)), sino que combina todo lo que sabemos del tiro parabólico en una sola fórmula compacta.

La fórmula del alcance

La fórmula del alcance horizontal es esta:
\[
R = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g}
\]

Donde:
– \(R\): alcance horizontal total.
– \(v_0\): velocidad inicial del proyectil.
– \(\alpha\): ángulo de lanzamiento.
– \(g\): aceleración de la gravedad (\(9.8 \, \text{m/s}^2\)).

¿De dónde sale esta fórmula?

Para que no te parezca que salió de la nada, vamos a derivarla paso a paso.

1. En el eje horizontal, sabemos que el movimiento es un MRU:
\[
x = v_{0x} \cdot t
\]
Recordemos que \(v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha)\) es la velocidad horizontal inicial.

2. En el eje vertical, el movimiento es un MRUA, y la posición está dada por:
\[
y = v_{0y} \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]
 \(v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)\) es la velocidad vertical inicial.

3. Cuando el proyectil toca el suelo (\(y = 0\)), el tiempo total (\(t\)) se calcula resolviendo esta ecuación:
\[
0 = v_{0y} \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]
Factorizamos \(t\):
\[
t = \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin(\alpha)}{g}
\]

4. Ahora sustituimos este tiempo total en la fórmula del eje \(x\):
\[
R = v_{0x} \cdot t = (v_0 \cdot \cos(\alpha)) \cdot \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin(\alpha)}{g}
\]

5. Simplificando:
\[
R = \frac{2 \cdot v_0^2 \cdot \cos(\alpha) \cdot \sin(\alpha)}{g}
\]

6. Y aplicando la identidad trigonométrica \(\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha)\):
\[
R = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g}
\]

¿Qué nos dice esta fórmula?

Esta fórmula no solo calcula hasta dónde llegará el proyectil en el eje \(x\); también demuestra lo fundamental que son el ángulo (\(\alpha\)) y la velocidad inicial (\(v_0\)). Cambiando cualquiera de estos dos valores, todo el tiro parabólico cambia.

Pero ojo, esta fórmula asume que la altura de salida y llegada son iguales. Si lanzas el proyectil desde una altura diferente, necesitas un análisis más detallado.

Ángulos complementarios y el alcance en el lanzamiento parabólico

Ahora que entendemos \(R\), viene lo divertido: los ángulos complementarios (\(30^\circ\) y \(60^\circ\), \(20^\circ\) y \(70^\circ\), etc.) Es decir, cuando ambos ángulos suman 90º, surge algo que parece mágico: con la misma velocidad inicial (\(v_0\)), alcanzan exactamente la misma distancia horizontal (\(R\)).

Si y no es nada loco. Mira la siguiente imagen:

angulos complementarios en el lanzamiento parabólico

Esto pasa porque en la fórmula aparece \(\sin(2\alpha)\), y cuando los ángulos son complementarios, \(2\alpha\) es igual para ambos. Por ejemplo:
– Para \(\alpha = 30^\circ\): \(2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\).
– Para \(\alpha = 60^\circ\): \(2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\), pero \(\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ)\).

¿Cuándo usar cada ángulo?

Aunque los ángulos complementarios te dan el mismo alcance, no son iguales en todo:
– Ángulo bajo (\(30^\circ\)): La trayectoria es más baja y rápida. Ideal si no hay obstáculos.
– Ángulo alto (\(60^\circ\)): La parábola es más alta, lo que te permite sobrevolar obstáculos como muros o montañas.

 

¿Por qué es útil \(R\) frente a \(x\)?

– \(x\): Es más general, porque puedes calcular la posición del proyectil en cualquier instante.
– \(R\): Es un caso particular: la posición final en \(x\) cuando \(t\) es el tiempo total de vuelo. Es como un atajo para no calcular primero \(t\) y luego usarlo en la fórmula de \(x\).

En resumen:
– Si quieres saber dónde está el proyectil en un momento cualquiera, usa \(x = v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t\).
– Si solo te importa hasta dónde llegará en total, usa \(R\).

¡Por eso \(R\) es tan potente y representa el alcance total en el tiro parabólico!

5. El Tiro Parabólico en Cinemática Vectorial: Desglosando las Componentes

¿Listo para llevar el tiro parabólico a otro nivel? Vamos a analizarlo desde el enfoque de la cinemática vectorial. Sí, con vectores. Tranquilo, no es más difícil; de hecho, puede que hasta sea más visual y ordenado. Aquí trabajamos con las componentes en los ejes \(x\) e \(y\), pero expresándolas como vectores en las direcciones \(\hat{i}\) (horizontal) y \(\hat{j}\) (vertical).
(Nivel avanzado)

Velocidad en cualquier instante (\(\vec{v}\))


La velocidad del proyectil en cualquier momento es la suma de sus componentes horizontal y vertical:
\[
\vec{v} = v_x \cdot \hat{i} + v_y \cdot \hat{j}
\]
Sustituyamos las fórmulas de \(v_x\) y \(v_y\):
– Componente horizontal (\(v_x\)):
\[
v_x = v_0 \cdot \cos(\alpha)
\]
Esta es constante porque no hay fuerzas que actúen en \(x\).

– Componente vertical (\(v_y\)):
\[
v_y = v_0 \cdot \sin(\alpha) – g \cdot t
\]
Aquí entra en juego la gravedad, que disminuye \(v_y\) al subir y la acelera al bajar.

Entonces, la velocidad en términos vectoriales queda:
\[
\vec{v} = (v_0 \cdot \cos(\alpha)) \cdot \hat{i} + (v_0 \cdot \sin(\alpha) – g \cdot t) \cdot \hat{j}
\]

 

Posición en cualquier instante (\(\vec{r}\))


La posición del proyectil también se descompone en sus dos componentes vectoriales:
\[
\vec{r} = x \cdot \hat{i} + y \cdot \hat{j}
\]
Sustituyendo las fórmulas para \(x\) y \(y\):
– Componente horizontal (\(x\)):
\[
x = v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t
\]

– Componente vertical (\(y\)):
\[
y = y_0 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]

Entonces, la posición en términos vectoriales queda:
\[
\vec{r} = (v_0 \cdot \cos(\alpha) \cdot t) \cdot \hat{i} + \left(y_0 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2\right) \cdot \hat{j}
\]

Magnitudes interesantes

1. Módulo de la velocidad (\(|\vec{v}|\)):
Si necesitas calcular la velocidad total en cualquier instante, simplemente aplicas Pitágoras:
\[
|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]
Sustituyendo las componentes:
\[
|\vec{v}| = \sqrt{(v_0 \cdot \cos(\alpha))^2 + (v_0 \cdot \sin(\alpha) – g \cdot t)^2}
\]

2. Módulo de la posición (\(|\vec{r}|\)):
De manera similar, puedes calcular la distancia del proyectil respecto al origen:
\[
|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2}
\]

¿Por qué usar cinemática vectorial?


– Es una forma elegante y compacta de expresar todo el movimiento.
– Si trabajas con vectores, visualizas mejor cómo el proyectil se descompone en sus componentes.
– Además, a algunos profesores les encanta porque es ideal para problemas más avanzados.

6. Colección de Problemas Resueltos de Tiro Parabólico

7. Errores Frecuentes en el Lanzamiento Parabólico (y cómo evitarlos)

Resolver problemas de tiro parabólico puede ser emocionante… o un desastre total si no tienes cuidado. Aquí tienes una lista de los errores más comunes que cometen los estudiantes, explicados al detalle. Porque sí, fallar es parte del aprendizaje, pero aquí estamos para que tú no caigas en las trampas más típicas:

1. No descomponer correctamente la velocidad inicial (\(v_0\))

El tiro parabólico empieza con descomponer la velocidad inicial en sus componentes horizontal (\(v_{0x}\)) y vertical (\(v_{0y}\)). Pero ojo, aquí es donde muchos se lían:
– Confundir el seno y el coseno. Recuerda:
\[
v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha) \quad \text{y} \quad v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)
\]
Si cambias los roles, estás tirando por la borda todo el cálculo.

Cómo evitarlo: Piensa en la trigonometría del triángulo. El coseno siempre acompaña al eje horizontal (\(x\)), y el seno, al eje vertical (\(y\)).

2. Olvidar que \(v_x\) es constante

Algunos estudiantes insisten en usar fórmulas de MRUA para el eje \(x\), ¡pero no! El movimiento horizontal es siempre un MRU, lo que significa que \(v_x\) no cambia.

Cómo evitarlo: Cada vez que te acerques al eje \(x\), repite en tu cabeza: “velocidad constante, sin cambios”.

3. Ignorar el convenio de signos

En el eje \(y\), la gravedad (\(g\)) siempre apunta hacia abajo, lo que significa que su valor es negativo. Pero es fácil olvidarlo y poner \(+g\) en lugar de \(-g\), lo que arruina todos tus cálculos.

Cómo evitarlo: Visualiza al proyectil luchando contra la gravedad mientras sube, y luego cayendo a favor de ella. Gravedad = siempre negativa.

4. Confundir el tiempo total con el tiempo hasta el punto más alto

Es un clásico: calcular el tiempo hasta el punto más alto (\(t_{\text{máx}}\)) y asumir que es el tiempo total. Error grave.

Cómo evitarlo:
– \(t_{\text{máx}}\) es solo la mitad del recorrido.
– El tiempo total es \(t_{\text{total}} = 2 \cdot t_{\text{máx}}\)  solo si el proyectil vuelve al mismo nivel. Si parte de una altura diferente (\(y_0 \neq y_f\)), hay que usar la fórmula completa para \(y\).

5. No entender qué significa \(v_y = 0\)

Cuando \(v_y = 0\), el proyectil está en el punto más alto de su trayectoria. Muchos estudiantes no aprovechan este dato clave para calcular el tiempo o la altura máxima.

Cómo evitarlo: Siempre que te hablen de la altura máxima, automáticamente tienes que ver que  \(v_y = 0\), piénsalo como una pista que el problema te está dando. Desde aquí puedes derivar el tiempo de subida (\(t_{\text{máx}}\)) o la altura máxima (\(y_{\text{máx}}\)).

6. Usar las fórmulas de manera mecánica

Meter datos en fórmulas sin entender lo que haces es como usar una calculadora sin saber si te está dando el resultado correcto. Si el problema cambia un dato o está planteado de forma diferente, te quedarás bloqueado.

Cómo evitarlo: Antes de calcular nada, piensa: ¿qué está pasando en el eje \(x\) y en el eje \(y\)? Divide el problema en partes y asegúrate de entender el concepto detrás de cada fórmula.

7. No relacionar el alcance máximo con el ángulo de 45°

El alcance máximo ocurre cuando el ángulo de lanzamiento es de 45°. Algunos olvidan esta relación o no la usan para verificar resultados.

Cómo evitarlo: Si te piden el alcance máximo, recuerda: el ángulo ideal es 45°, y cualquier desviación de ese ángulo reduce la distancia recorrida.

8. No distinguir entre alturas inicial y final (\(y_0 \neq y_f\))

Si el proyectil se lanza desde una altura (\(y_0\)) distinta de donde aterriza (\(y_f\)), las fórmulas cambian. Muchos estudiantes pasan esto por alto y calculan como si siempre empezara y terminara en el mismo nivel.

Cómo evitarlo: Siempre revisa la altura inicial y final antes de empezar a calcular. Si \(y_0 \neq y_f\), ajusta las ecuaciones para reflejarlo.

9. No comprobar unidades y coherencia

Este error parece tonto, pero pasa más de lo que crees. Usar \(g = 9.8\) con velocidades en km/h o alturas en metros sin convertir las unidades llevará a resultados incorrectos.

Cómo evitarlo: Asegúrate de que todo esté en unidades del Sistema Internacional (m/s, metros, segundos).

10. Subestimar la importancia del enunciado

El enunciado tiene toda la información que necesitas, pero es fácil saltarse detalles importantes como la altura inicial o las condiciones del problema.

Cómo evitarlo: Léelo dos veces. Subraya los datos clave y traduce lo que dice en términos matemáticos antes de tocar una fórmula.

8. Preguntas Frecuentes sobre el Tiro Parabólico: Resuelve todas tus dudas

Aquí tienes las preguntas que realmente importan cuando estás aprendiendo tiro parabólico. Léelas, entiéndelas, y te aseguro que después de esto mirarás cualquier problema y dirás: «Ah, esto es pan comido.»

La trayectoria parabólica aparece porque el movimiento horizontal es constante (\(MRU\)) y el vertical es acelerado (\(MRUA\)), gracias a la gravedad. La combinación de ambos genera una curva característica que conocemos como parábola. Es literalmente la gráfica de una ecuación cuadrática en \(y\).

Esto ocurre solo cuando el proyectil comienza y termina en la misma altura (\(y_0 = y_f\)). En este caso, el movimiento es simétrico: el proyectil tarda el mismo tiempo en subir que en bajar porque la gravedad actúa de manera uniforme. Si \(y_0 \neq y_f\), esta simetría desaparece.

Cuando \(v_y = 0\), el proyectil ha alcanzado su altura máxima. Esto no significa que el proyectil esté en reposo. La velocidad horizontal (\(v_x\)) sigue siendo constante y el proyectil continúa avanzando. Este momento clave nos ayuda a calcular el tiempo de subida y la altura máxima con facilidad.

El ángulo óptimo es de 45°, siempre y cuando el proyectil parta y termine en el mismo nivel (\(y_0 = y_f\)). Este ángulo equilibra perfectamente las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial, maximizando el alcance.

La clave está en separar siempre los movimientos:
– Si es algo horizontal, usa las fórmulas del MRU (\(x\), \(v_x\)).
– Si es algo vertical, usa las fórmulas del MRUA (\(y\), \(v_y\)).
No intentes mezclar ambos movimientos hasta que tengas que calcular algo global, como la trayectoria completa.

La velocidad instantánea es la combinación de las componentes horizontal (\(v_x\)) y vertical (\(v_y\)):
\[
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]
Esto te da el módulo de la velocidad en ese instante. Para encontrar la dirección, usa la pendiente de la trayectoria:
\[
\tan(\theta) = \frac{v_y}{v_x}
\]

Entender que todo el movimiento se basa en las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial. Una vez que las descompones correctamente, el resto es cuestión de aplicar las fórmulas del MRU y MRUA según el eje. Si dominas esto, tienes el tiro parabólico en el bolsillo.

Con estas preguntas frecuentes, podrás aclarar las dudas más comunes y estar listo para resolver problemas de caída libre con confianza. ¡A practicar!

9. Laboratorio virtual de Tiro parabólico

¿Te imaginas poder lanzar proyectiles en cualquier planeta? ¿Probar qué pasa si cambias la velocidad inicial o el ángulo de disparo? Pues ahora puedes hacerlo.

Te dejamos un laboratorio virtual que te permitirá practicar el tiro parabólico como si fueras un científico loco (o un estratega de guerra, ¡tú eliges el rol!).

laboratorio virtual de tiro parabólico

 

– Cambia la velocidad inicial (\(v_0\)): ¿Qué pasa si lanzas más rápido o más lento? Descúbrelo ajustando el cañón y observando cómo afecta al alcance y la altura.
– Juega con los ángulos (\(\alpha\)): Desde tiros rasos hasta parábolas altísimas. ¿Qué ángulo es el mejor para derribar objetivos o superar obstáculos?
– Modifica la gravedad (\(g\)): ¿Qué tal un disparo en Marte, donde la gravedad es más suave? ¿Y en la Luna, donde apenas hay gravedad? ¡Incluso puedes exagerar y simular condiciones imposibles en la Tierra!
– Añade resistencia del aire (si te atreves): Porque sabemos que en la vida real nada es perfecto, puedes activar esta opción para ver cómo el aire afecta el alcance y la trayectoria.

Dale al Play y haz Física de Verdad

Un cierre para la cinemática… y una bienvenida a la dinámica

Hasta aquí, hemos desmenuzado la cinemática: caída libre, tiros verticales, movimientos horizontales, y por supuesto, el glorioso tiro parabólico. Con estas bases teóricas y las fórmulas bien dominadas, ya no hay problema de cinemática que se te resista. Pero esto es solo el calentamiento.

Lo mejor está por venir. Ahora nos adentramos en un terreno donde las cosas se ponen realmente interesantes: la dinámica y las Leyes de Newton.

Si te emocionó entender cómo se mueven los cuerpos, imagínate ahora descubriendo por qué se mueven y qué fuerzas están detrás de cada acción. Desde desentrañar los misterios del movimiento rectilíneo bajo la influencia de fuerzas hasta analizar sistemas complejos, aquí la física cobra vida de verdad.

Prepárate, porque en esta nueva etapa no solo vamos a resolver problemas; vamos a entender cómo funciona el universo. Y, claro, lo vamos a hacer con el mismo estilo: sencillo, directo y, sobre todo, divertido. 🚀

¡Vamos allá! 👇 Próximo destino: las Leyes de Newton y los secretos de la dinámica. 

10. Sigue aprendiendo cinemática

Lanzamiento Parabólico
Tiro Horizontal
Lanzamiento Vertical
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