Alcance y Persecución en MRUA: La Carrera de la Policía contra el Ladrón de la Joyería

Un ladrón comete un audaz robo en una joyería, llevándose consigo una valiosa colección de diamantes y escapa en un coche deportivo a toda velocidad. Pero su coche está al límite y no puede acelerar más, moviéndose a una velocidad constante.

Dos minutos después, la policía recibe la alarma y un coche patrulla se lanza a la persecución. Aunque empieza más tarde, la policía tiene una ventaja: su coche puede acelerar constantemente, acercándose cada vez más al ladrón.

Datos del problema: El ladrón se mueve en Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) a una velocidad constante de 20 m/s.

La policía comienza la persecución 120 segundos después del ladrón y sigue un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) con una aceleración constante de 0.25 m/s².

Ambas posiciones iniciales (la joyería) se toman en el punto de referencia 0 metros.

Objetivo:

a) ¿Cuánto tiempo después de que el ladrón comienza su huida, la policía logrará alcanzarlo?

b) ¿A qué distancia de la joyería ocurrirá el encuentro?

c) ¿Con qué velocidad estará moviéndose el coche de la policía en el momento del encuentro?

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)

Este es un problema de alcance y persecución, donde el ladrón se mueve en Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) mientras la policía lo persigue con Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA). Para resolverlo, igualaremos las ecuaciones de posición de ambos en función del tiempo, lo cual nos permitirá determinar el momento y lugar donde la policía alcanza al ladrón.

📝 Solución paso a paso

1. Definimos los Datos y las Incógnitas

Los datos proporcionados son:

– Velocidad del ladrón (\(v_{\text{ladrón}}\)) = 20 m/s.
– Aceleración de la policía (\(a_{\text{policía}}\)) = 0.25 m/s².
– Desfase temporal (\(t_0\)) = 120 segundos (retraso en la salida de la policía).
– Posición inicial del ladrón y de la policía = 0 metros (tomando la joyería como punto de referencia).

Las incógnitas que buscamos son:
– Tiempo de encuentro (\(t\)) desde que el ladrón comienza a huir.
– Distancia de encuentro (\(x\)) desde la joyería.
– Velocidad de la policía en el momento del encuentro.

2. Planteamos las Ecuaciones de Posición para el Ladrón y la Policía

1. Para el ladrón, que se mueve con velocidad constante (\(v_{\text{ladrón}} = 20 \, \text{m/s}\)):
\[
x_{\text{ladrón}} = v_{\text{ladrón}} \cdot t
\]

2. Para la policía, que comienza a moverse 120 segundos después con aceleración constante (\(a_{\text{policía}} = 0.25 \, \text{m/s}^2\)), la posición en función del tiempo se expresa como:
\[
x_{\text{policía}} = \frac{1}{2} a_{\text{policía}} \cdot (t – t_0)^2
\]

donde \(t – t_0\) es el tiempo de persecución efectiva, ya que la policía comienza su movimiento después de un desfase de \(t_0 = 120 \, \text{segundos}\).

 3. Igualamos las Posiciones para Determinar el Tiempo de Encuentro

Para que la policía alcance al ladrón, sus posiciones deben ser iguales en el instante \(t\). Por lo tanto:

\[
v_{\text{ladrón}} \cdot t = \frac{1}{2} a_{\text{policía}} \cdot (t – t_0)^2
\]

Sustituyendo los valores de \(v_{\text{ladrón}}\), \(a_{\text{policía}}\) y \(t_0\):

\[
20 \cdot t = \frac{1}{2} \cdot 0.25 \cdot (t – 120)^2
\]

Simplificamos la ecuación:

\[
20 \cdot t = 0.125 \cdot (t – 120)^2
\]

Multiplicamos ambos lados por 8 para eliminar el decimal y simplificar los cálculos:

\[
160 \cdot t = (t – 120)^2
\]

Expandimos el Cuadrado en el Lado Derecho

\[
(t – 120)^2 = t^2 – 240t + 14400
\]

Sustituimos esto en la ecuación:

\[
160 \cdot t = t^2 – 240t + 14400
\]

Reordenamos Todos los Términos en una Ecuación Cuadrática

Pasamos todos los términos al mismo lado de la ecuación para obtener la forma cuadrática:

\[
t^2 – 400t + 14400 = 0
\]

—

Resolución de la Ecuación Cuadrática para el Tiempo de Encuentro

Ahora tenemos la ecuación cuadrática:

\[
t^2 – 400t + 14400 = 0
\]

Aplicamos la fórmula cuadrática:
\[
t = \frac{400 \pm \sqrt{400^2 – 4 \cdot 1 \cdot 14400}}{2 \cdot 1}
\]

Calculamos dentro de la raíz:

\[
t = \frac{400 \pm \sqrt{160000 – 57600}}{2}
\]
\[
t = \frac{400 \pm \sqrt{102400}}{2}
\]

Calculamos la raíz cuadrada:

\[
t = \frac{400 \pm 320}{2}
\]

Esto nos da dos posibles valores para \( t \):

1. \( t_1 = \frac{400 + 320}{2} = 360 \, \text{segundos} \)
2. \( t_2 = \frac{400 – 320}{2} = 40 \, \text{segundos} \) (descartado, ya que es antes de que la policía inicie la persecución)

Por lo tanto, el tiempo en que la policía alcanza al ladrón es 360 segundos después de que el ladrón comenzó a escapar.

4. Calculamos la distancia de Encuentro

Para encontrar la distancia desde la joyería hasta el punto de encuentro, utilizamos la posición del ladrón en ese momento, ya que él se mueve a velocidad constante:

\[
x_{\text{encuentro}} = v_{\text{ladrón}} \cdot t
\]
\[
x_{\text{encuentro}} = 20 \cdot 360 = 7200 \, \text{metros} = 7.2 \, \text{km}
\]

Así que el encuentro ocurre a 7.2 kilómetros de la joyería.

5. Velocidad de la Policía en el Momento del Encuentro

La velocidad de la policía en el momento del encuentro, dado que sigue un MRUA, es:

\[
v_{\text{policía}} = a_{\text{policía}} \cdot (t – t_0)
\]
\[
v_{\text{policía}} = 0.25 \cdot (360 – 120) = 0.25 \cdot 240 = 60 \, \text{m/s}
\]

🚀 Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?

¡Te desafiamos a llevar este ejercicio al siguiente nivel! Aquí encontrarás variaciones que a veces, añaden un toque extra de complejidad, pensadas para que explores nuevos conceptos y fortalezcas tus habilidades en la resolución de problemas de física.

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1¿Qué sucedería si la velocidad máxima del coche de la policía fuera de 50 m/s?. Es decir, acelera desde el reposo, pero cuando llega a 50 m/s, su velocidad límite, continua en un MRU a esa velocidad.

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️ Intermedio (4 /10)

Vamos a resolver este caso de «Mente Curiosa» considerando que el coche de la policía tiene una velocidad máxima de 50 m/s. Queremos determinar si la policía puede alcanzar al ladrón sin superar esa velocidad y, en caso afirmativo, calcular la distancia a la que ocurre el encuentro.

Paso 1: Planteamos la Condición de Velocidad Máxima

Dado que la policía tiene una aceleración de \( a_{\text{policía}} = 0.25 \, \text{m/s}^2 \), podemos calcular cuánto tiempo le lleva alcanzar la velocidad máxima de 50 m/s. Este tiempo máximo será el punto en el que la policía deje de acelerar, ya que no puede superar esa velocidad.

Usamos la fórmula de la velocidad en MRUA:

\[
v_{\text{policía}} = a_{\text{policía}} \cdot t
\]

Sustituyendo la velocidad máxima y la aceleración de la policía:

\[
50 = 0.25 \cdot t
\]

Resolviendo para \( t \):

\[
t = \frac{50}{0.25} = 200 \, \text{segundos}
\]

Esto significa que la policía alcanzará su velocidad máxima de 50 m/s después de 200 segundos desde que inicia la persecución (recordemos que la policía comienza 120 segundos después de que el ladrón ha salido).

 

Paso 2: Analizamos la Situación de Movimiento

La persecución se dividirá en dos etapas para la policía:

1. Primera etapa (0 a 200 segundos): La policía se mueve con una aceleración constante de \( 0.25 \, \text{m/s}^2 \).
2. Segunda etapa (después de 200 segundos): La policía continúa a velocidad constante de 50 m/s.

Vamos a ver si la policía alcanza al ladrón durante la primera etapa o si necesita continuar la persecución a velocidad constante en la segunda etapa.

Paso 3: Calculamos la Posición del Ladrón y la Policía al Final de la Primera Etapa (200 segundos)

Posición del Ladrón a los 200 segundos:

El ladrón se mueve a velocidad constante de 20 m/s, por lo que su posición después de 200 segundos desde el inicio de la persecución será:

\[
x_{\text{ladrón}} = v_{\text{ladrón}} \cdot (200 + 120) = 20 \cdot 320 = 6400 \, \text{metros}
\]

(Recordamos que el ladrón lleva 120 segundos de ventaja antes de que la policía inicie su persecución, por lo que lleva un total de 320 segundos de desplazamiento en este punto).

Posición de la Policía a los 200 segundos:

Usamos la ecuación de posición en MRUA para la policía durante los primeros 200 segundos de su movimiento:

\[
x_{\text{policía}} = \frac{1}{2} a_{\text{policía}} \cdot t^2
\]
\[
x_{\text{policía}} = \frac{1}{2} \cdot 0.25 \cdot (200)^2
\]
\[
x_{\text{policía}} = 0.125 \cdot 40000 = 5000 \, \text{metros}
\]

Al final de estos 200 segundos, la policía ha recorrido 5000 metros desde su posición inicial.

Paso 4: Comparación de Posiciones y Continuación de la Persecución

En este punto (cuando la policía alcanza su velocidad máxima), el ladrón está a 6400 metros y la policía a 5000 metros. La policía aún no ha alcanzado al ladrón, así que necesitamos continuar la persecución, ahora con la policía moviéndose a una velocidad constante de 50 m/s.

La diferencia de distancia entre el ladrón y la policía en este momento es:

\[
\Delta x = 6400 – 5000 = 1400 \, \text{metros}
\]

—

Paso 5: Tiempo Adicional Necesario para Alcanzar al Ladrón en la Segunda Etapa

Ahora, ambos se mueven a velocidades constantes: el ladrón a 20 m/s y la policía a 50 m/s. Para calcular el tiempo adicional que la policía necesita para alcanzar al ladrón, usamos la fórmula de distancia relativa en MRU.

La velocidad relativa de la policía con respecto al ladrón es:

\[
v_{\text{relativa}} = v_{\text{policía}} – v_{\text{ladrón}} = 50 – 20 = 30 \, \text{m/s}
\]

Sabemos que la distancia entre ellos es 1400 metros, así que el tiempo adicional necesario para que la policía alcance al ladrón será:

\[
t_{\text{adicional}} = \frac{\Delta x}{v_{\text{relativa}}} = \frac{1400}{30} \approx 46.67 \, \text{segundos}
\]

Paso 6: Tiempo Total para el Encuentro

El tiempo total desde que la policía comienza la persecución hasta que alcanza al ladrón es la suma de los 200 segundos iniciales (primera etapa) y los 46.67 segundos adicionales (segunda etapa):

\[
t_{\text{total}} = 200 + 46.67 = 246.67 \, \text{segundos}
\]

Este es el tiempo total desde que la policía comienza la persecución. Si queremos saber el tiempo desde que el ladrón comenzó su huida, debemos sumar los 120 segundos de ventaja del ladrón:

\[
t_{\text{desde inicio ladrón}} = 246.67 + 120 = 366.67 \, \text{segundos}
\]

Paso 7: Calculamos la Distancia de Encuentro

Finalmente, para encontrar la distancia desde la joyería hasta el punto de encuentro, usamos la posición del ladrón (que se mueve a velocidad constante de 20 m/s):

\[
x_{\text{encuentro}} = v_{\text{ladrón}} \cdot t_{\text{desde inicio ladrón}}
\]
\[
x_{\text{encuentro}} = 20 \cdot 366.67 = 7333.4 \, \text{metros} = 7.33 \, \text{km}
\]

Respuesta Final

La policía logra alcanzar al ladrón sin superar la velocidad máxima de 50 m/s. El encuentro ocurre aproximadamente a los 366.67 segundos desde el inicio de la huida del ladrón, a una distancia de 7.33 kilómetros de la joyería.

2. ¿Qué pasaría si el ladrón acelerara también?

Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️ Intermedio (4 /10)

Para resolver este nuevo caso en el que el ladrón también acelera, vamos a ajustar nuestras ecuaciones y hacer el análisis completo.

 Nueva Situación del Problema

Ahora, el ladrón, al notar que la policía se aproxima, decide acelerar con una aceleración constante de 0.1 m/s². Queremos determinar si esto afecta el tiempo y la distancia de encuentro, teniendo en cuenta que:

– La policía acelera a 0.25 m/s² y comienza la persecución 120 segundos después de la partida del ladrón.
– La velocidad inicial del ladrón es de 20 m/s.
– Ambas posiciones iniciales (la joyería) se toman en el punto de referencia 0 metros.

 

Paso 1: Planteamos las Ecuaciones de Movimiento para el Ladrón y la Policía

Movimiento del Ladrón (MRUA)
Dado que el ladrón ahora se mueve con aceleración, su ecuación de posición en función del tiempo será:

\[
x_{\text{ladrón}} = v_{\text{ladrón}} \cdot t + \frac{1}{2} a_{\text{ladrón}} \cdot t^2
\]

donde:
– \( v_{\text{ladrón}} = 20 \, \text{m/s} \) (velocidad inicial),
– \( a_{\text{ladrón}} = 0.1 \, \text{m/s}^2 \) (aceleración).

Entonces:

\[
x_{\text{ladrón}} = 20 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 0.1 \cdot t^2
\]
\[
x_{\text{ladrón}} = 20t + 0.05t^2
\]

Movimiento de la Policía (MRUA con Desfase Temporal)
La policía comienza su persecución 120 segundos después, y su ecuación de posición en función del tiempo, teniendo en cuenta el desfase temporal \(t_0 = 120\) segundos, será:

\[
x_{\text{policía}} = \frac{1}{2} a_{\text{policía}} \cdot (t – t_0)^2
\]

donde:
– \( a_{\text{policía}} = 0.25 \, \text{m/s}^2 \).

Entonces:

\[
x_{\text{policía}} = \frac{1}{2} \cdot 0.25 \cdot (t – 120)^2
\]
\[
x_{\text{policía}} = 0.125 \cdot (t – 120)^2
\]

Paso 2: Igualamos las Ecuaciones de Posición para Determinar el Tiempo de Encuentro

Para que la policía alcance al ladrón, sus posiciones deben ser iguales en un instante \(t\):

\[
20t + 0.05t^2 = 0.125 \cdot (t – 120)^2
\]

Paso 3: Expandimos y Simplificamos la Ecuación

Expandiendo el cuadrado en el lado derecho de la ecuación:

\[
20t + 0.05t^2 = 0.125 \cdot (t^2 – 240t + 14400)
\]

Distribuimos el \(0.125\) en el lado derecho:

\[
20t + 0.05t^2 = 0.125t^2 – 30t + 1800
\]

Ahora, reordenamos todos los términos en un lado de la ecuación:

\[
0.05t^2 – 0.125t^2 + 20t + 30t – 1800 = 0
\]

Simplificamos los términos cuadráticos y lineales:

\[
-0.075t^2 + 50t – 1800 = 0
\]

Multiplicamos toda la ecuación por \(-1000/75\) para eliminar los decimales:

\[
t^2 – 666.67t + 24000 = 0
\]

Aplicamos la fórmula cuadrática para resolver \( t \):

\[
t = \frac{666.67 \pm \sqrt{(666.67)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 24000}}{2 \cdot 1}
\]

Calculamos dentro de la raíz:

\[
t = \frac{666.67 \pm \sqrt{444444.44 – 96000}}{2}
\]
\[
t = \frac{666.67 \pm \sqrt{348444.44}}{2}
\]

Calculamos la raíz cuadrada:

\[
t = \frac{666.67 \pm 590.29}{2}
\]

Esto nos da dos posibles valores para \( t \):

1. \( t_1 = \frac{666.67 + 590.29}{2} \approx 628.48 \, \text{segundos} \)
2. \( t_2 = \frac{666.67 – 590.29}{2} \approx 38.19 \, \text{segundos} \) (descartado, ya que es antes de que la policía inicie la persecución)

Por lo tanto, el tiempo en que la policía alcanza al ladrón es aproximadamente 628.48 segundos desde que el ladrón comenzó su huida.

Paso 4: Calculamos la Distancia de Encuentro

Para encontrar la distancia desde la joyería hasta el punto de encuentro, utilizamos la posición del ladrón en ese momento:

\[
x_{\text{encuentro}} = 20t + 0.05t^2
\]

Sustituyendo \( t = 628.48 \) segundos:

\[
x_{\text{encuentro}} = 20 \cdot 628.48 + 0.05 \cdot (628.48)^2
\]
\[
x_{\text{encuentro}} = 12569.6 + 0.05 \cdot 394994.23
\]
\[
x_{\text{encuentro}} = 12569.6 + 19749.71 = 32319.31 \, \text{metros} = 32.32 \, \text{km}
\]

Respuesta Final

El tiempo total necesario para que la policía alcance al ladrón es aproximadamente 628.48 segundos desde que el ladrón comenzó su huida, y el encuentro ocurre a una distancia de 32.32 km de la joyería.

El incremento en la distancia de encuentro muestra el impacto de la aceleración adicional del ladrón, que le permite alargar la persecución, obligando a la policía a cubrir una distancia mayor antes de alcanzarlo.

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