Imagina que eres el conductor de un tren metropolitano en una ciudad llena de viajeros con prisa por llegar a sus destinos.
Objetivos
a) La aceleración en la primera fase (aceleración constante).
b) El espacio que recorre mientras acelera.
c) La aceleración en la última fase (frenado).
d) El tiempo total que ha estado en movimiento.
e) El espacio total recorrido.
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Este un ejercicio tipico del MRUA donde nos presentan tres tipos de movimiento que debemos analizar por separado. Primero, el tren parte desde el reposo y acelera uniformemente (MRUA) hasta alcanzar una velocidad constante, manteniendo este ritmo en un tramo de movimiento rectilíneo uniforme (MRU). Finalmente, al llegar a la estación, el tren frena de forma constante (MRUA retardado) hasta detenerse. Para resolverlo, calcularemos la aceleración y distancia en las fases de aceleración y frenado, además del tiempo y espacio total de todo el recorrido.
¡Vamos a calcularlo paso a paso!
📝 Solución paso a paso
Fase 1: Aceleración Constante - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)
Al comenzar el trayecto, el tren parte del reposo y, durante 10 segundos, acelera uniformemente hasta alcanzar los 72 km/h.
¿Por qué estamos en MRUA?
- Empezamos desde cero, sin velocidad inicial.
- La aceleración es constante, lo cual significa que el tren gana velocidad de forma uniforme.
Conversión de unidades de velocidad
Recuerda siempre antes de resolver el problema pasar a las unidades del Sistema Internacional.
– La velocidad final que alcanzamos en esta fase es de 72 km/h.
– Convertimos 72 km/h a m/s:
\[
v_f = 72 \, \text{km/h} = \frac{72 \times 1000}{3600} = 20 \, \text{m/s}
\]
a) Cálculo de la aceleración
– Usamos la fórmula de aceleración en un MRUA:
\[
a = \frac{v_f – v_i}{t}
\]
– Dado que el tren parte del reposo (\(v_i = 0\)) y tarda \(t = 10 \, \text{s}\) en alcanzar 20 m/s:
\[
a = \frac{20 \, \text{m/s} – 0}{10 \, \text{s}} = 2 \, \text{m/s}^2
\]
b) Cálculo del espacio recorrido durante la aceleración
– Usamos la fórmula del espacio en MRUA:
\[
x = v_i t + \frac{1}{2} a t^2
\]
– Dado que \(v_i = 0\), queda:
\[
x = 0 + \frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{m/s}^2 \cdot (10 \, \text{s})^2
\]
\[
x = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 100 = 100 \, \text{m}
\]
Resumen de Fase 1:
– Aceleración: \(2 \, \text{m/s}^2\)
– Espacio recorrido: \(100 \, \text{m}\)
Fase 2: Movimiento a Velocidad Constante (MRU)
Tras alcanzar la velocidad de 20 m/s (72 km/h), el tren la mantiene constante durante 2 minutos.
¿Por qué estamos en MRU?
- La velocidad no cambia, ya que no hay aceleración. Al mantener una velocidad constante, estamos en MRU.
Duración de esta fase
La fase dura 2 minutos, que convertimos a segundos:
\[
t = 2 \times 60 = 120 \, \text{s}
\]
Cálculo del espacio recorrido
No nos han pedido este dato directamente, pero si lo necesitaremos para el inciso e donde tenemos que calcular el espacio total recorrido. Asi que vamos a calcularlo ahora.
En MRU, la distancia recorrida se calcula como:
\[
x = v \cdot t
\]
– Sustituimos \(v = 20 \, \text{m/s}\) y \(t = 120 \, \text{s}\):
\[
x = 20 \, \text{m/s} \cdot 120 \, \text{s} = 2400 \, \text{m}
\]
Resumen de Fase 2:
– Espacio recorrido: \(2400 \, \text{m}\)
Fase 3: Frenado Constante - Movimiento Rectilíneo Uniformemente Retardado (MRUA)
Al acercarse a la siguiente estación, el tren comienza a frenar uniformemente hasta detenerse, recorriendo 200 metros.
¿Por qué estamos en MRUA de nuevo?
- Aquí, el tren disminuye su velocidad de forma constante hasta detenerse, lo cual es un movimiento uniformemente retardado. Es MRUA porque la desaceleración es constante. Aunque veremos que la aceleración será negativa.
c) Cálculo de la aceleración de frenado
– Sabemos que el tren recorre 200 metros hasta detenerse (\(v_f = 0\)).
– Usamos la fórmula para calcular la aceleración cuando se conoce la distancia recorrida y la velocidad inicial:
\[
v_f^2 = v_i^2 + 2 a x
\]
– Sustituimos \(v_f = 0\), \(v_i = 20 \, \text{m/s}\) y \(x = 200 \, \text{m}\):
\[
0 = (20 \, \text{m/s})^2 + 2 \cdot a \cdot 200 \, \text{m}
\]
\[
a = – \frac{400}{400} = -1 \, \text{m/s}^2
\]
– Fíjate que la aceleración es negativa, indicando que el tren está frenando. La propia matemática nos indica que hay un frenado. No es fascinante?
d) Tiempo de frenado
– Usamos la fórmula para calcular el tiempo en MRUA:
\[
t = \frac{v_f – v_i}{a}
\]
– Sustituimos \(v_f = 0\), \(v_i = 20 \, \text{m/s}\), y \(a = -1 \, \text{m/s}^2\):
\[
t = \frac{0 – 20}{-1} = 20 \, \text{s}
\]
Resumen de Fase 3:
– Aceleración de frenado:\(-1 \, \text{m/s}^2\)
– Tiempo de frenado: \(20 \, \text{s}\)
d) Tiempo total de movimiento
– Sumamos los tiempos de cada fase:
\[
t_{\text{total}} = 10 \, \text{s} + 120 \, \text{s} + 20 \, \text{s} = 150 \, \text{s}
\]
e) Espacio total recorrido
– Sumamos las distancias de cada fase:
\[
x_{\text{total}} = 100 \, \text{m} + 2400 \, \text{m} + 200 \, \text{m} = 2700 \, \text{m}
\]
Ya tenemos el problema resuelto. En este ejercicio hemos aprendido a descomponer un movimiento en varios tipos, como MRUA y MRU, sin dificultad. ¿Cómo? Porque hemos sido meticulosos: dividimos el problema en fases, identificamos el tipo de movimiento en cada una, y aplicamos las fórmulas correspondientes. Este es el método que seguiremos siempre al resolver problemas de física y matemáticas: tomar un problema grande y dividirlo en partes más pequeñas y manejables.
Ahora, vamos a la parte divertida… ¿qué pasaría si…?
🚀 Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?
¡Te desafiamos a llevar este ejercicio al siguiente nivel! Aquí encontrarás variaciones que a veces, añaden un toque extra de complejidad, pensadas para que explores nuevos conceptos y fortalezcas tus habilidades en la resolución de problemas de física.
¡Es tu oportunidad perfecta para aprender más y superar tus propios límites!
1. ¿Qué pasaría si apareciera un obstáculo inesperado en la vía?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Supongamos que, al terminar los dos minutos de velocidad constante mru a 20 m/s, el tren ve un obstáculo en las vías. ¿Qué aceleración necesitaría para detenerse sin golpear el obstáculo, sabiendo que este está a una distancia de 150 metros?
Imagina que estas circulando con el tren tranquilamente a una velocidad constante de 20 m/s, y has estado manteniendo esta velocidad durante dos minutos. La sensación es de estabilidad, todo va bien, pero, de repente, en el horizonte aparece un obstáculo en las vías. No tienes mucho tiempo, pero la distancia hasta el obstáculo es de 150 metros. Tu desafío es frenar a tiempo para evitar un accidente.
Vamos a pensar en cómo resolver este problema. Sabemos que el tren está viajando a 20 m/s, y queremos que se detenga justo antes de llegar al obstáculo, es decir, necesitamos que la velocidad final sea 0 m/s. El tiempo para detener el tren no está dado, pero tenemos la distancia: 150 metros. Entonces, tenemos que encontrar la aceleración necesaria para que el tren se detenga en esa distancia.
Paso 1: Analicemos la situación
El tren está realizando un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), ya que el tren va a frenar con una aceleración constante hasta detenerse. El MRUA tiene una fórmula clave independiente del tiempo que nos puede ayudar:
\[
v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot x
\]
Donde:
– \( v \) es la velocidad final (que será 0 m/s porque el tren se detendrá),
– \( v_0 \) es la velocidad inicial (20 m/s),
– \( a \) es la aceleración (que es lo que queremos encontrar),
– \( x \) es la distancia recorrida hasta detenerse (150 metros).
Paso 2: Sustituimos los valores conocidos en la fórmula
Sabemos que \( v = 0 \), \( v_0 = 20 \, \text{m/s} \) y \( x = 150 \, \text{m} \). Sustituyendo estos valores en la fórmula:
\[
0 = (20)^2 + 2 \cdot a \cdot 150
\]
Despejamos \( a \) para encontrar la aceleración necesaria:
\[
0 = 400 + 300a
\]
\[
300a = -400
\]
\[
a = \frac{-400}{300} = -\frac{4}{3} \, \text{m/s}^2
\]
La aceleración es de -4/3 m/s² o aproximadamente -1.33 m/s². El signo negativo indica, como vimos antes, que la aceleración es en sentido opuesto a la dirección del movimiento, lo que tiene sentido porque estamos frenando el tren.
Conclusión:
Para que el tren se detenga a tiempo y evite el obstáculo, necesitaría una aceleración de -1.33 m/s². Esto significa que el tren debe frenar con esa aceleración constante durante los 150 metros para llegar a detenerse justo antes de llegar al obstáculo. Fíjate que la aceleración que hemos calculado es mayor (en términos de magnitud) que la que el tren necesitaría si frenara en 200 metros. Esto es completamente normal, ya que si necesitamos detener el tren en una distancia más corta, debemos desacelerar con mayor rapidez.
2. Eres el conductor de un tren bala japonés, un Shinkansen, listo para alcanzar su increíble velocidad máxima de 320 km/h. Comienzas el viaje desde el reposo en una estación llena de pasajeros emocionados por el trayecto. La aceleración de tu tren es constante, y te preguntas:
Dificultad: ⚛️⚛️ Principiante (2 /10)
¿cuánto tiempo necesitará el tren para alcanzar esta velocidad, sabiendo que la aceleración es de 2.5 m/s²?
Primero, identifiquemos los datos dados:
– Velocidad inicia(\(v_0\)) = 0 m/s (el tren parte desde el reposo).
– Velocidad final (\(v\)) = 320 km/h (la velocidad máxima).
– Aceleración (\(a\)) = 2.5 m/s².
Queremos encontrar el tiempo necesario (\(t\)) para alcanzar la velocidad máxima desde el reposo.
Dado que tenemos una aceleración constante, usaremos la fórmula del MRUA (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado):
\[
v = v_0 + a \cdot t
\]
Paso 1: Conversión de unidades de la velocidad final
Como nuestra fórmula requiere que todas las unidades sean coherentes, necesitamos convertir la velocidad final, dada en km/h, a m/s.
Para convertir de km/h a m/s, usaremos el siguiente método clásico de conversión de unidades:
\[
320 \, \text{km/h} \times \frac{1000 \, \text{m}}{1 \, \text{km}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}}
\]
Al simplificar, tenemos:
\[
320 \times \frac{1000}{3600} = 88.89 \, \text{m/s}
\]
Entonces, la velocidad final en m/s es 88.89 m/s 🤯
Paso 2: Sustituimos en la fórmula y resolvemos
Ya que sabemos que \( v = 88.89 \, \text{m/s} \), \( v_0 = 0 \, \text{m/s} \), y \( a = 2.5 \, \text{m/s}^2 \), podemos sustituir estos valores en nuestra fórmula para despejar \( t \):
\[
88.89 = 0 + 2.5 \cdot t
\]
Despejamos \( t \):
\[
t = \frac{88.89}{2.5} = 35.56 \, \text{s}
\]
El tiempo necesario para que el tren alcance su velocidad máxima de 320 km/h, partiendo desde el reposo con una aceleración de 2.5 m/s², es aproximadamente 35.56 segundos.
Comparte con tus compañeros de clase!
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