Imagina dos drones voladores que están haciendo una misión de reconocimiento sobre un vasto desierto.
¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar el Drone B al Drone A?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
Este es un problema clásico de alcance y persecución en el contexto del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU). Imagina que el Drone A vuela a una velocidad constante de 3 km/h, mientras que el Drone B, que es más rápido, lo sigue a 5 km/h. Como es lógico, dado que el Drone B va a mayor velocidad, eventualmente alcanzará al Drone A. Pero la verdadera pregunta es: ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
Para resolverlo, primero necesitamos establecer un sistema de referencia y plantear las ecuaciones de posición de cada dron. La clave está en que, cuando ambos se encuentren, sus posiciones serán iguales. Una vez que igualemos las ecuaciones de posición, podremos despejar el tiempo y así obtener el momento exacto del encuentro.
¡Vamos a calcularlo paso a paso!
📝 Solución paso a paso
Establecer un sistema de referencia y punto de origen
Lo primero que haremos es convertir las velocidades de km/h a metros por segundo (m/s), ya que es la unidad estándar en el SI.
Vamos a elegir el momento en el que Drone A pasa sobre la pirámide (nuestro punto de referencia) como el instante inicial , t = 0. Esto nos permitirá medir el tiempo desde ese momento y determinar el desplazamiento de ambos drones a partir de ahí.
– En t = 0, el Drone A está justo en la pirámide.
– En t = 5 minutos (es decir, 300 s), el Drone B pasa sobre la pirámide.
Este sistema de referencia nos facilita los cálculos, y es fundamental que establezcas uno antes de empezar a resolver el ejercicio. Porque ahora puedes tartar ambos movimientos desde un mismo punto de origen y construir las ecuaciones de posición fácilmente.
Fórmulas de posición para ambos drones
Como ambos drones se mueven a velocidad constante, podemos utilizar la fórmula de movimiento rectilíneo uniforme (MRU):
\text{Posición} = \text{Posición inicial} + \text{Velocidad} \times \text{Tiempo}
\]
Denotemos:
– \( x_A \) como la posición del Drone A en cualquier instante.
– \( x_B \) como la posición del Drone B en cualquier instante.
– \( v_A = 0,833 \, \text{m/s} \) es la velocidad del Drone A.
– \( v_B = 1,388 \, \text{m/s} \) es la velocidad del Drone B.
– \( t \) es el tiempo que ha pasado desde que el Drone A comenzó su vuelo.
La ecuación de posición para el Drone A, que parte desde la pirámide:
\[
x_A = v_A \cdot t = 0,833 \cdot t
\]
Para el Drone B, que comienza su vuelo 5 minutos después (es decir, después de 300 s), la posición será:
\[
x_B = v_B \cdot (t – 300) = 1,388 \cdot (t – 300)
\]
Condición para que ambos drones se encuentren
Para que los dos drones se encuentren, sus posiciones deben ser iguales. Por lo tanto, igualamos las ecuaciones de posición:
\[
x_A = x_B
\]
Sustituyendo las fórmulas correspondientes:
\[
0,833t = 1,388(t – 300)
\]
Primero, expandimos el lado derecho de la ecuación y operamos:
\[
0,833t = 1,38t – 416,4
\]
\[
0,833t – 1,389t = -416,4
\]
\[
-0,556t = -416,4
\]
\[
0,556t = 416,4
\]
Finalmente, despejamos \( t \):
\[
t = \frac{416,4}{0,556} = 749 \, \text{segundos}
\]
Convertir el tiempo a minutos
Aunque no es necesario, en este problema es más práctico expresar el tiempo en minutos. Sabemos que 60 segundos es un minuto, por lo que dividimos entre 60 para obtener aproximadamente:
\[
t = 12,48 \, \text{minutos}
\]
Conclusión
El Drone B alcanzará al Drone A 12.48 minutos después de que el Drone A haya pasado sobre la pirámide.
🚀 Mente curiosa: ¿Qué pasaría si...?
¡Te desafiamos a llevar este ejercicio al siguiente nivel! Aquí encontrarás variaciones que a veces, añaden un toque extra de complejidad, pensadas para que explores nuevos conceptos y fortalezcas tus habilidades en la resolución de problemas de física.
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1. ¿Qué pasaría si el Drone B tuviera que detenerse durante 1 minuto justo después de comenzar su vuelo debido a un fallo técnico?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️⚛️ Intermedio (4 /10)
¿El Drone B tardaría más o menos en alcanzar al Drone A? ¿Por qué?
Si el Drone B tuviera que detenerse durante 1 minuto justo después de comenzar su vuelo debido a un fallo técnico, tardaría más en alcanzar al Drone A. Como es lógico.
Esto ocurre porque, durante ese minuto en que el Drone B está detenido, el Drone A sigue avanzando a su velocidad de 3 km/h (0.833 m/s). Así, la distancia entre ambos drones aumentaría durante ese tiempo de detención. Aunque el Drone B es más rápido, esa ventaja se reduce al perder un minuto sin moverse, lo que significa que necesitará más tiempo para compensar la distancia adicional que el Drone A ha recorrido durante esa pausa.
Por lo tanto, el Drone B tardaría más tiempo en alcanzar al Drone A comparado con la situación en la que no hubiera sufrido la parada técnica.
Vamos a calcularlo!
Calcula cuánto tiempo tardaría en alcanzar al Drone A si su velocidad sigue siendo la misma.
Datos que ya sabemos del ejercicio anterior:
– Velocidad del Drone A: \(v_A = 0.833 \, \text{m/s}\).
– Velocidad del Drone B: \(v_B = 1.389 \, \text{m/s}\).
– Diferencia de tiempo entre los vuelos: 5 minutos = 300 segundos.
Ahora procedemos paso a paso:
1. Distancia recorrida por el Drone A durante la detención del Drone B
Cuando el Drone B se detiene por 60 segundos, el Drone A sigue avanzando. La distancia que recorre el Drone A durante ese tiempo es:
d_A = v_A \cdot t = 0.833 \, \text{m/s} \cdot 60 \, \text{s} = 49.98 \, \text{m}
\]
Esto significa que, mientras el Drone B está detenido durante los 60 segundos, el Drone A se aleja 49.98 metros adicionales.
2. Nueva distancia inicial entre los drones
Cuando el Drone B reanuda su vuelo, ya habían pasado 300 segundos desde que el Drone A empezó a volar. Durante esos 300 segundos, la distancia recorrida por el Drone A fue:
d_{\text{inicial}} = v_A \cdot 300 \, \text{s} = 0.833 \, \text{m/s} \cdot 300 \, \text{s} = 249.9 \, \text{m}
\]
A esta distancia le sumamos los 49.98 metros adicionales que recorrió el Drone A mientras el Drone B estaba detenido por el fallo técnico:
\text{Distancia total} = 249.9 \, \text{m} + 49.98 \, \text{m} = 299.88 \, \text{m}
\]
3. Igualar posiciones para encontrar el tiempo en que el Drone B alcanza al Drone A
Ahora que el Drone B ha reanudado su vuelo, podemos escribir las ecuaciones de posición para ambos drones.
Posición del Drone A
El Drone A sigue avanzando con su velocidad constante de \(0.833 \, \text{m/s}\):
\[
x_A(t) = 0.833 \, t
\]
Posición del Drone B
El Drone B reanuda su vuelo después de estar detenido durante 60 segundos, así que su ecuación de posición a partir de ese momento será:
\[
x_B(t) = 1.389 \cdot (t – 360)
\]
Donde \(360 \, \text{s}\) representa el tiempo total que ha pasado desde que el Drone A comenzó a volar (300 segundos de retraso más los 60 segundos de detención).
Igualamos las posiciones de ambos drones para determinar cuándo se encuentran:
\[
0.833 \, t = 1.389 \, (t – 360)
\]
Expandimos el lado derecho:
\[
0.833 \, t = 1.389 \, t – 500.04
\]
Restamos \(0.833 \, t\) de ambos lados:
\[
0 = 1.389 \, t – 0.833 \, t – 500.04
\]
Simplificamos:
\[
0 = 0.556 \, t – 500.04
\]
Despejamos \(t\):
\[
0.556 \, t = 500.04
\]
Dividimos ambos lados entre \(0.556\):
\[
t = \frac{500.04}{0.556} \approx 899.35 \, \text{segundos}
\]
Resultado final
El Drone B alcanzará al Drone A aproximadamente 899.35 segundos después de que el Drone A empezó su vuelo, lo que equivale a unos 15 minutos.
2. ¿Qué pasaría si el Drone B comenzara su vuelo sólo 2 minutos después de que el Drone A pasara por la pirámide?
Dificultad: ⚛️⚛️⚛️ Principiante (3 /10)
¿El Drone B tardaría más o menos en alcanzar al Drone A? ¿Por qué?
Si el Drone B comienza su vuelo solo 2 minutos después del Drone A, tardaría menos tiempo en alcanzarlo en comparación con la situación original (5 minutos de diferencia). Esto es porque la diferencia de tiempo entre el momento en que ambos drones pasan por el mismo punto (la pirámide) es menor, y dado que el Drone B es más rápido (5 km/h frente a los 3 km/h del Drone A), cuanto menor sea el retraso, menos tiempo le llevará al Drone B alcanzar al Drone A.
Calcula cuánto tiempo tardaría en alcanzar al Drone A si su velocidad sigue siendo la misma.
Datos:
– Velocidad del Drone A: \( v_A = 0.833 \, \text{m/s} \)
– Velocidad del Drone B: \( v_B = 1.389 \, \text{m/s} \)
– Diferencia de tiempo entre los vuelos: 2 minutos = 120 segundos.
1. Distancia recorrida por el Drone A antes de que el Drone B comience
Durante los 120 segundos en los que el Drone A está volando solo antes de que el Drone B empiece, la distancia que recorre es:
d_A = v_A \cdot t = 0.833 \, \text{m/s} \cdot 120 \, \text{s} = 99.96 \, \text{m}
\]
Esto significa que el Drone A ha recorrido 99.96 metros cuando el Drone B comienza su vuelo.
2. Igualar posiciones para encontrar el tiempo en que el Drone B alcanza al Drone A
Ahora, al igual que en el caso anterior, escribimos las ecuaciones de posición de ambos drones y las igualamos para encontrar el tiempo en el que se encuentran.
Posición del Drone A
El Drone A sigue volando a su velocidad constante de \(0.833 \, \text{m/s}\), así que su posición en función del tiempo es:
\[
x_A(t) = 0.833 \, t
\]
Posición del Drone B
El Drone B comienza su vuelo 120 segundos después del Drone A, por lo que su posición estará dada por:
\[
x_B(t) = 1.389 \cdot (t – 120)
\]
Donde \(t\) es el tiempo total que ha pasado desde que el Drone A empezó su vuelo, y \(t – 120\) es el tiempo que el Drone B lleva volando.
3. Igualar posiciones
Igualamos las posiciones de ambos drones para determinar cuándo se encuentran:
\[
0.833 \, t = 1.389 \, (t – 120)
\]
Expandimos el lado derecho:
\[
0.833 \, t = 1.389 \, t – 166.68
\]
Restamos \(0.833 \, t\) de ambos lados:
\[
0 = 1.389 \, t – 0.833 \, t – 166.68
\]
Simplificamos:
\[
0 = 0.556 \, t – 166.68
\]
Despejamos \(t\):
\[
0.556 \, t = 166.68
\]
Dividimos ambos lados entre \(0.556\):
\[
t = \frac{166.68}{0.556} \approx 299.42 \, \text{segundos}
\]
Resultado final
El Drone B alcanzará al Drone A aproximadamente 299.42 segundos después de que el Drone A haya comenzado su vuelo, lo que equivale a casi 5 minutos.
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